A Derived Legendrian Category for Shifted Contact Stacks

技術的概要：シフト接触スタックのための導出ルジェンドリアン圏

問題提起
導出代数幾何学において、導出モジュライ空間間の幾何学的関係は、通常、ラグランジュ対応を射とする $(\infty, 2)$-圏であるシフト対称スタックの圏（$\text{Lag}_n$ または $\text{Symp}_n$ と表記）を用いて形式化される。しかし、$\ell$-進局所系へのフロベニウス作用、射影ヒッグス束、およびリー 2-群を含む特定のモジュライ問題は、シフト対称商を生み出さない。代わりに、これらの商は「ある指標まで固定された」構造を有しており、著者らはこれをシフト接触構造と命名する。

既存のラグランジュ対応の枠組みは、これらの「奇数次元」の接触設定には不十分である。本論文は、ラグランジュ対応がルジェンドリアン対応に置き換えられ、かつ射の合成が接触幾何学特有の等変性を尊重する対応する圏論的基盤の必要性に対処する。

手法
著者らは、導出対称化を介した接触幾何学と対称幾何学の関係を利用することで、$n$-シフト接触導出アルティンスタック $X$ に対する導出ルジェンドリアン圏 $\mathcal{F}_c(X)$ を構成する。

1. 導出対称化: スタック $X$ 上の $n$-シフト接触構造は、主 $\mathbb{G}_m$-バンドル $\tilde{X}$（対称化）上の重み 1 の $\mathbb{G}_m$-等変 $n$-シフト対称構造として符号化される。これは $X \simeq [\tilde{X}/\mathbb{G}_m]$ という結果に依存する。
2. ルジェンドリアン射: 新しい圏の対象は、ルジェンドリアン射 $f: L \to X$ として定義される。これらは、そのリフト $\tilde{f}: \tilde{L} \to \tilde{X}$ が対称化 $\tilde{X}$ 内のラグランジュ射であり、かつ $\mathbb{G}_m$-作用に関して等変であることを特徴とする。
3. 降下による射空間: 射空間 $\text{Hom}_{\mathcal{F}_c(X)}(L_1, L_2)$ は、$\tilde{X}$ 内のラグランジュリフト $\tilde{L}_1$ と $\tilde{L}_2$ の導出交差を取ることで構成される。この交差は、$\mathbb{G}_m$-等変 $(n-1)$-シフト対称構造を継承する。接触圏における実際の射空間は、この交差の等変降下（スタック商を取る）によって得られ、$(n-1)$-シフト接触スタックとなる。
4. 高次圏構造: 合成および高次射は、対称化 $\tilde{X}$ 内のラグランジュスパンの $(\infty, 2)$-圏を用いて定義される。著者らは、これらのスパンの $\mathbb{G}_m$-等変性が、接触基底 $X$ へ降下することを示し、$(\infty, 2)$-圏に必要な一貫性条件を保持することを証明する。
5. AKSZ 構成: 著者らは AKSZ 構成を利用して、位相的コボルディズムを対称化内のラグランジュスパンに写し、それが降下して接触圏における導出ルジェンドリアン手術を定義する。

主要な貢献と結果

• $\mathcal{F}_c(X)$ の構成: 任意の $n$-シフト接触導出アルティンスタック $X$ に対して、よく定義された導出ルジェンドリアン圏 $\mathcal{F}_c(X)$ の存在を確立する。
  • 対象: ルジェンドリアン射 $f: L \to X$。
  • 1-射: 等変ラグランジュリフトの導出交差の降下として得られる導出スタック。
  • 2-射と合成: 等変降下を介したラグランジュスパンの $(\infty, 2)$-圏から導出される。
• 大域圏 $\text{Leg}_n$: 著者らは、すべての $n$-シフト接触導出スタックの集まりを、対象が接触スタック、1-射がルジェンドリアン対応、2-射がルジェンドリアンスパンである大域 $(\infty, 2)$-圏 $\text{Leg}_n$ へと昇格させる。
• 導出ルジェンドリアン手術: AKSZ 構成を用いて、対称なモノイド $\infty$-関手 $Z_c: \text{Bord}_d \to \text{Leg}_{k-d+1}$ を定義する。この関手は、向き付けられた位相的コボルディズムをルジェンドリアン対応に写し、導出ルジェンドリアン手術を圏論的演算として実効的に定義する。

モジュライ理論への応用
本論文は、この枠組みの有用性を、特定の導出モジュライ空間への適用によって示す：

1. 導出判別式軌跡: 滑らかなスキーム $L$ に対して、1-ジェット空間 $J^1(L)$ の導出ルジェンドリアン圏は、導出判別式軌跡 $\Delta_{\text{loc}}(f)$ を符号化する。この圏内の合成は導出畳み込み写像を生み出し、マイクロ局所核の合成に対する幾何学的アナロジーを提供する。
2. 冪零円錐の変形: 射影ヒッグス束の導出モジュライスタック $\mathcal{P}\text{Higgs}_G(C)$ に対して、射影化された導出冪零円錐 $\mathbb{P}N$ は $\mathcal{F}_c(\mathcal{P}\text{Higgs}_G(C))$ 内の対象である。圏論的合成は、ホモトピー引き戻し $\mathbb{P}N \times^h_{\mathcal{P}\text{Higgs}_G(C)} \mathbb{P}N$ に $A_\infty$-代数構造を付与し、冪零円錐の非可換変形理論を制御する。
3. 位相的場理論: 構成の関手性は、位相的コボルディズムを接触スタックの代数構造に結びつけ、導出ルジェンドリアン手術を理解するための枠組みを提供する。

重要性
本論文は、対称幾何学ではなく接触幾何学から自然に生じるモジュライ問題を研究するために必要な圏論的基盤を提供すると主張する。対称化からのラグランジュ対応の降下を形式化することにより、著者らは「奇数次元」の導出モジュライ空間への高次圏論的道具（スパン、合成、手術）の適用を可能にする。これは、導出対称幾何学と、$\ell$-進局所系およびヒッグス束に関する問題に見られる特定の幾何学的制約との間のギャップを埋め、これらの文脈における非可換変形代数および畳み込み構造の定義を可能にする。