Structured deformations for energies with general surface terms

Sintesi Tecnica: Deformazioni Strutturate per Energie con Termini Superficiali Generali

Enunciato del Problema
Il saggio affronta la teoria variazionale delle deformazioni strutturate di primo ordine, un quadro teorico introdotto da Del Piero & Owen per descrivere fenomeni multiscala nei materiali in cui le risposte macroscopiche sono influenzate da scivolamenti microscopici, crepe e disarrangiamenti. Sebbene il lavoro fondamentale di Choksi & Fonseca abbia stabilito una teoria di rilassamento per le deformazioni strutturate $(g, G)$ (dove $g$ è la deformazione macroscopica e $G$ tiene conto dei cambiamenti sub-macroscopici regolari), la loro formulazione si basava su densità di energia superficiale $\gamma$ che soddisfacevano condizioni di crescita lineare del tipo $c|\zeta| \leq \gamma \leq C|\zeta|$.

Questa ipotesi di crescita lineare esclude modelli fisicamente rilevanti, in particolare i modelli di zona coesiva nella meccanica della frattura e i modelli per i difetti cristallini, dove la densità di energia superficiale è attesa essere lineare per piccole aperture di salto ma satura (si avvicina a una costante) per grandi aperture. Matematicamente, ciò corrisponde a condizioni di crescita del tipo $c(|\zeta| \wedge 1) \leq \gamma \leq C(|\zeta| \wedge 1)$. La sfida principale nell'estendere la teoria a questi "termini superficiali generali" è che lo spazio standard delle funzioni di variazione limitata ($BV$) e il relativo controllo della variazione totale $|Dg|$ sono insufficienti. La saturazione della densità di energia all'infinito impedisce l'equiboundedness della norma $BV$ per le sequenze di approssimazione, rendendo necessario un passaggio allo spazio delle funzioni generalizzate di variazione limitata, $GBV^\star$, introdotto da Dal Maso & Toader.

Metodologia
Gli autori sviluppano un rigoroso quadro variazionale all'interno dello spazio $GBV^\star(\Omega; \mathbb{R}^k) \times L^p(\Omega; \mathbb{R}^{k \times d})$. La metodologia si basa su tre pilastri principali:

1. Approssimazione in $GBV^\star$: Gli autori dimostrano che ogni deformazione strutturata $(g, G)$ con $g \in GBV^\star$ può essere approssimata da una sequenza di deformazioni semplici $\{(u_n, \nabla u_n)\}$ con $u_n \in SBV$. Fondamentalmente, questa approssimazione controlla una specifica quantità non lineare $V(g, O)$ piuttosto che la variazione totale standard. La quantità $V$ è definita come:
   $$V(g, O) := \sum_{i=1}^k \left( \int_O |\nabla g_i| \, dx + |D_c g_i|(O) + \int_{J_{g_i} \cap O} |[g_i]| \wedge 1 \, d\mathcal{H}^{d-1} \right)$$
   Ciò richiede nuovi risultati di densità per le funzioni $BV$ (Teorema 4.1) e una costruzione su misura vicino ai set di salto per garantire la convergenza di $V$ insieme alla convergenza $L^0$.

2. Rappresentazione Integrale tramite il Metodo Globale: Per caratterizzare l'energia rilassata, gli autori utilizzano il metodo globale di Bouchitté, Fonseca, & Mascarenhas. Una significativa difficoltà concettuale sorge poiché gli standard argomenti di perturbazione-troncatura utilizzati in $GBV^\star$ (che si basano sull'aggiunta di un termine superficiale per imporre la crescita lineare) falliscono qui a causa della presenza del campo matriciale $F$ e della specifica crescita di $\gamma$. Per aggirare questo problema, gli autori evitano gli argomenti di perturbazione. Invece, utilizzano costruzioni di "blow-up" attorno ai punti di bulk e di superficie, supportate da nuove disuguaglianze di tipo Poincaré adattate a $GBV^\star$ (Appendice C) e specifici lemmi di blow-up (Appendice D).

3. Rilassamento e Formule di Cella: L'energia rilassata $I_p^\star(g, G)$ è definita come l'infimo del limite inferiore delle energie delle sequenze di approssimazione. Gli autori stabiliscono che il funzionale rilassato ammette una rappresentazione integrale che coinvolge parti di bulk, superficie e Cantor. Le densità sono caratterizzate tramite formule di cella asintotiche su piccoli cubi, distinguendo tra dati al contorno affini (bulk) e dati al contorno di puro salto (superficie).

Contributi Chiave e Risultati

1. Teorema di Approssimazione (Teorema 3.1): Il saggio stabilisce che ogni deformazione strutturata $(g, G) \in GBV^\star \times L^p$ può essere approssimata da una sequenza di deformazioni semplici $\{(u_n, \nabla u_n)\}$ tale che $u_n \to g$ in $L^0$, $\nabla u_n = G$ quasi ovunque, e la quantità $V(u_n, O)$ sia uniformemente limitata da $C(V(g, O) + \|G\|_{L^1})$. Questo risultato si basa su un nuovo teorema di densità (Teorema 4.1) che mostra come le funzioni $BV$ possano essere approssimate da funzioni $SBV$ preservando la convergenza della specifica funzionale di energia $V$.

2. Rappresentazione Integrale Astratta (Teorema 3.7): Gli autori dimostrano che qualsiasi funzionale semicontinuo inferiore $F$ sullo spazio delle deformazioni strutturate che soddisfi specifiche condizioni di crescita (in termini di $V$ e $\|G\|_{L^p}$) ammette una rappresentazione integrale. Il funzionale si suddivide in una parte assolutamente continua (bulk), una parte di salto (superficie) e una parte singolare (Cantor). Le densità sono date da formule di cella asintotiche che implicano la minimizzazione su classi vincolate di deformazioni.

3. Rappresentazione Esplicita per le Energie Rilassate (Teoremi 3.13, 3.14, 3.16):

   • Il Teorema 3.13 conferma che l'energia rilassata $I_p^\star$ appartiene alla classe di funzionali che ammettono la rappresentazione astratta, con densità definite dalle formule di cella.
   • Il Teorema 3.14 fornisce espressioni esplicite per le densità di bulk e di superficie ($H_p$ e $h_p$) nel caso $p > 1$. Queste densità sono date da problemi di minimizzazione su funzioni $SBV$ con specifiche condizioni al contorno, coerenti con le formule identificate da Choksi & Fonseca ma adattate alle nuove condizioni di crescita.
   • Il Teorema 3.16 offre una rappresentazione completa per il caso in cui gli integrandi siano indipendenti dalla variabile spaziale $x$. Esso caratterizza esplicitamente la parte di Cantor dell'energia rilassata in termini della funzione di recessione della densità di bulk, $H_p^\infty$.

Significato e Rivendicazioni
Il saggio sostiene di fornire un "quadro piuttosto completo" del rilassamento delle energie di deformazione strutturata sotto condizioni di crescita superficiale generale, specifiche per la frattura coesiva. Gli autori sottolineano che il loro approccio supera i limiti dei lavori precedenti (come [25] e [46]) che richiedevano o norme $BV$ equibounded (portando all'ill-posedness dei problemi di minimizzazione con energie saturate) o alteravano la definizione di rilassamento.

Lavorando in $GBV^\star$ e sviluppando nuovi strumenti tecnici (risultati di densità, disuguaglianze di Poincaré e lemmi di blow-up adattati a questo spazio), gli autori estendono l'applicabilità della teoria della deformazione strutturata a una classe più ampia di modelli meccanici. I risultati sono presentati come una base teorica necessaria per modellare la frattura coesiva e i solidi cristallini difettosi dove le energie superficiali esibiscono un comportamento lineare all'origine e di saturazione all'infinito. Gli autori notano che il teorema di approssimazione e i relativi risultati di densità per le funzioni $BV$ sono di interesse indipendente e possono trovare applicazioni in altri contesti riguardanti i problemi di discontinuità libera.