Structured deformations for energies with general surface terms

Resumo Técnico: Deformações Estruturadas para Energias com Termos de Superfície Gerais

Enunciado do Problema
O artigo aborda a teoria variacional das deformações estruturadas de primeira ordem, um arcabouço introduzido por Del Piero & Owen para descrever fenômenos multiescala em materiais onde as respostas macroscópicas são influenciadas por deslizamentos microscópicos, trincas e desarranjos. Embora o trabalho fundamental de Choksi & Fonseca tenha estabelecido uma teoria de relaxação para deformações estruturadas $(g, G)$ (onde $g$ é a deformação macroscópica e $G$ contabiliza mudanças sub-macroscópicas suaves), sua formulação dependia de densidades de energia de superfície $\gamma$ que satisfaziam condições de crescimento linear da forma $c|\zeta| \leq \gamma \leq C|\zeta|$.

Essa suposição de crescimento linear exclui modelos fisicamente relevantes, particularmente modelos de zona coesiva em mecânica da fratura e modelos para defeitos cristalinos, onde a densidade de energia de superfície espera-se que seja linear para pequenas aberturas de salto, mas sature (aproxime-se de uma constante) para grandes aberturas. Matematicamente, isso corresponde a condições de crescimento da forma $c(|\zeta| \wedge 1) \leq \gamma \leq C(|\zeta| \wedge 1)$. O principal desafio ao estender a teoria para essas "densidades de superfície gerais" é que o espaço padrão de funções de variação limitada ($BV$) e o controle associado da variação total $|Dg|$ são insuficientes. A saturação da densidade de energia no infinito impede a equiboundedness da norma $BV$ para sequências aproximantes, necessitando de uma mudança para o espaço de funções generalizadas de variação limitada, $GBV^\star$, introduzido por Dal Maso & Toader.

Metodologia
Os autores desenvolvem um arcabouço variacional rigoroso dentro do espaço $GBV^\star(\Omega; \mathbb{R}^k) \times L^p(\Omega; \mathbb{R}^{k \times d})$. A metodologia baseia-se em três pilares principais:

1. Aproximação em $GBV^\star$: Os autores provam que qualquer deformação estruturada $(g, G)$ com $g \in GBV^\star$ pode ser aproximada por uma sequência de deformações simples $\{(u_n, \nabla u_n)\}$ com $u_n \in SBV$. Crucialmente, essa aproximação controla uma quantidade não linear específica $V(g, O)$ em vez da variação total padrão. A quantidade $V$ é definida como:
   $$V(g, O) := \sum_{i=1}^k \left( \int_O |\nabla g_i| \, dx + |D_c g_i|(O) + \int_{J_{g_i} \cap O} |[g_i]| \wedge 1 \, d\mathcal{H}^{d-1} \right)$$
   Isso requer novos resultados de densidade para funções $BV$ (Teorema 4.1) e uma construção adaptada perto de conjuntos de salto para garantir a convergência de $V$ juntamente com a convergência $L^0$.

2. Representação Integral via Método Global: Para caracterizar a energia relaxada, os autores empregam o método global de Bouchitté, Fonseca, & Mascarenhas. Uma dificuldade conceitual significativa surge porque os argumentos padrão de perturbação-truncamento usados em $GBV^\star$ (que dependem de adicionar um termo de superfície para impor crescimento linear) falham aqui devido à presença do campo de matriz $G$ e ao crescimento específico de $\gamma$. Para contornar isso, os autores evitam argumentos de perturbação. Em vez disso, utilizam construções de blow-up ao redor de pontos de volume (bulk) e de superfície, apoiadas por novas desigualdades do tipo Poincaré adaptadas para $GBV^\star$ (Apêndice C) e lemas de blow-up específicos (Apêndice D).

3. Relaxação e Fórmulas de Célula: A energia relaxada $I_p^\star(g, G)$ é definida como o ínfimo do limite inferior das energias de sequências aproximantes. Os autores estabelecem que este funcional relaxado admite uma representação integral envolvendo partes de volume (bulk), de superfície e de Cantor. As densidades são caracterizadas via fórmulas de célula assintóticas em pequenos cubos, distinguindo entre dados de contorno afins (volume) e dados de contorno de salto puro (superfície).

Principais Contribuições e Resultados

1. Teorema de Aproximação (Teorema 3.1): O artigo estabelece que toda deformação estruturada $(g, G) \in GBV^\star \times L^p$ pode ser aproximada por uma sequência de deformações simples $\{(u_n, \nabla u_n)\}$ tal que $u_n \to g$ em $L^0$, $\nabla u_n = G$ quase em toda parte, e a quantidade $V(u_n, O)$ é uniformemente limitada por $C(V(g, O) + \|G\|_{L^1})$. Este resultado depende de um novo teorema de densidade (Teorema 4.1) mostrando que funções $BV$ podem ser aproximadas por funções $SBV$ preservando a convergência do funcional de energia específico $V$.

2. Representação Integral Abstrata (Teorema 3.7): Os autores provam que qualquer funcional semicontínuo inferior $F$ no espaço de deformações estruturadas satisfazendo condições de crescimento específicas (em termos de $V$ e $\|G\|_{L^p}$) admite uma representação integral. O funcional divide-se em uma parte absolutamente contínua (volume), uma parte de salto (superfície) e uma parte singular (Cantor). As densidades de volume e de superfície são dadas por problemas de minimização em células assintóticas envolvendo classes de deformações com restrições.

3. Representação Explícita para Energias Relaxadas (Teoremas 3.13, 3.14, 3.16):

   • Teorema 3.13 confirma que a energia relaxada $I_p^\star$ pertence à classe de funcionais que admitem a representação abstrata, com densidades definidas pelas fórmulas de célula.
   • Teorema 3.14 fornece expressões explícitas para as densidades de volume e de superfície ($H_p$ e $h_p$) no caso $p > 1$. Estas densidades são dadas por problemas de minimização sobre funções $SBV$ com condições de contorno específicas, consistentes com as fórmulas identificadas por Choksi & Fonseca, mas adaptadas às novas condições de crescimento.
   • Teorema 3.16 oferece uma representação completa para o caso em que os integrandos são independentes da variável espacial $x$. Ele caracteriza explicitamente a parte de Cantor da energia relaxada em termos da função de recessão da densidade de volume, $H_p^\infty$.

Significância e Alegações
O artigo alega fornecer um "quadro bastante completo" da relaxação de energias de deformação estruturada sob condições gerais de crescimento de superfície, especificamente aquelas relevantes para a fratura coesiva. Os autores enfatizam que sua abordagem supera as limitações de trabalhos anteriores (como [25] e [46]) que ou exigiam normas $BV$ equiboundedas (levando à mal-definição para problemas de minimização com energias saturadas) ou alteravam a definição de relaxação.

Ao trabalhar em $GBV^\star$ e desenvolver novas ferramentas técnicas (resultados de densidade, desigualdades de Poincaré e lemas de blow-up adaptados para este espaço), os autores estendem a aplicabilidade da teoria da deformação estruturada para uma classe mais ampla de modelos mecânicos. Os resultados são apresentados como uma fundação teórica necessária para modelar fratura coesiva e sólidos cristalinos defeituosos onde as energias de superfície exibem comportamento linear na origem e saturação no infinito. Os autores observam que o teorema de aproximação e os resultados de densidade associados para funções $BV$ são de interesse independente e podem encontrar aplicações em outros contextos envolvendo problemas de descontinuidade livre.