Structured deformations for energies with general surface terms

Resumen Técnico: Deformaciones Estructuradas para Energías con Términos de Superficie Generales

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la teoría variacional de las deformaciones estructuradas de primer orden, un marco introducido por Del Piero y Owen para describir fenómenos multiescala en materiales donde las respuestas macroscópicas están influenciadas por deslizamientos microscópicos, grietas y desajustes. Si bien el trabajo fundacional de Choksi y Fonseca estableció una teoría de relajación para las deformaciones estructuradas $(g, G)$ (donde $g$ es la deformación macroscópica y $G$ contabiliza los cambios submacroscópicos suaves), su formulación dependía de densidades de energía superficial $\gamma$ que satisfacían condiciones de crecimiento lineal de la forma $c|\zeta| \leq \gamma \leq C|\zeta|$.

Esta suposición de crecimiento lineal excluye modelos físicamente relevantes, particularmente los modelos de zona cohesiva en mecánica de fractura y los modelos para defectos cristalinos, donde se espera que la densidad de energía superficial sea lineal para aperturas de salto pequeñas pero que se sature (se aproxime a una constante) para aperturas grandes. Matemáticamente, esto corresponde a condiciones de crecimiento de la forma $c(|\zeta| \wedge 1) \leq \gamma \leq C(|\zeta| \wedge 1)$. El desafío principal para extender la teoría a estos "términos de superficie generales" es que el espacio estándar de funciones de variación acotada ($BV$) y el control asociado de la variación total $|Dg|$ son insuficientes. La saturación de la densidad de energía en el infinito impide la equiboundedad de la norma $BV$ para las secuencias de aproximación, lo que requiere un cambio al espacio de funciones generalizadas de variación acotada, $GBV^\star$, introducido por Dal Maso y Toader.

Metodología
Los autores desarrollan un marco variacional riguroso dentro del espacio $GBV^\star(\Omega; \mathbb{R}^k) \times L^p(\Omega; \mathbb{R}^{k \times d})$. La metodología se apoya en tres pilos principales:

1. Aproximación en $GBV^\star$: Los autores demuestran que cualquier deformación estructurada $(g, G)$ con $g \in GBV^\star$ puede ser aproximada por una secuencia de deformaciones simples $\{(u_n, \nabla u_n)\}$ con $u_n \in SBV$. Crucialmente, esta aproximación controla una cantidad no lineal específica $V(g, O)$ en lugar de la variación total estándar. La cantidad $V$ se define como:
   $$V(g, O) := \sum_{i=1}^k \left( \int_O |\nabla g_i| \, dx + |D_c g_i|(O) + \int_{J_{g_i} \cap O} |[g_i]| \wedge 1 \, d\mathcal{H}^{d-1} \right)$$
   Esto requiere nuevos resultados de densidad para funciones $BV$ (Teorema 4.1) y una construcción adaptada cerca de los conjuntos de salto para asegurar la convergencia de $V$ junto con la convergencia $L^0$.

2. Representación Integral vía el Método Global: Para caracterizar la energía relajada, los autores emplean el método global de Bouchitté, Fonseca y Mascarenhas. Una dificultad conceptual significativa surge porque los argumentos estándar de perturbación-truncación utilizados en $GBV^\star$ (que se basan en añadir un término de superficie para forzar el crecimiento lineal) fallan aquí debido a la presencia del campo de matrices $G$ y el crecimiento específico de $\gamma$. Para evitar esto, los autores evitan los argumentos de perturbación. En su lugar, utilizan construcciones de "blow-up" alrededor de puntos de volumen (bulk) y de superficie, apoyados en nuevas desigualdades de tipo Poincaré adaptadas a $GBV^\star$ (Apéndice C) y lemas de blow-up específicos (Apéndice D).

3. Relajación y Fórmulas de Celda: La energía relajada $I_p^\star(g, G)$ se define como el ínfimo del límite inferior de las energías de las secuencias aproximantes. Los autores establecen que este funcional relajado admite una representación integral que involucra partes de volumen, de salto y de Cantor. Las densidades se caracterizan mediante fórmulas de celda asintóticas en cubos pequeños, distinguiendo entre datos de contorno afines (volumen) y datos de contorno de salto puro (superficie).

Contribuciones Clave y Resultados

1. Teorema de Aproximación (Teorema 3.1): El artículo establece que cada deformación estructurada $(g, G) \in GBV^\star \times L^p$ puede ser aproximada por una secuencia de deformaciones simples $\{(u_n, \nabla u_n)\}$ tal que $u_n \to g$ en $L^0$, $\nabla u_n = G$ casi en todas partes, y la cantidad $V(u_n, O)$ está uniformemente acotada por $C(V(g, O) + \|G\|_{L^1})$. Este resultado depende de un nuevo teorema de densidad (Teorema 4.1) que muestra que las funciones $BV$ pueden ser aproximadas por funciones $SBV$ preservando la convergencia de la funcional de energía específica $V$.

2. Representación Integral Abstracta (Teorema 3.7): Los autores demuestran que cualquier funcional semic continuo inferior $F$ en el espacio de deformaciones estructuradas que satisfaga condiciones de crecimiento específicas (en términos de $V$ y $\|G\|_{L^p}$) admite una representación integral. El funcional se divide en una parte absolutamente continua (volumen), una parte de salto (superficie) y una parte singular (Cantor). Las densidades de volumen y de superficie vienen dadas por fórmulas de celda asintóticas que involucran la minimización sobre clases restringidas de deformaciones.

3. Representación Explícita para Energías Relajadas (Teoremas 3.13, 3.14, 3.16):

   • El Teorema 3.13 confirma que la energía relajada $I_p^\star$ pertenece a la clase de funcionales que admiten la representación abstracta, con densidades definidas por las fórmulas de celda.
   • El Teorema 3.14 proporciona expresiones explícitas para las densidades de volumen y de superficie ($H_p$ y $h_p$) en el caso $p > 1$. Estas densidades vienen dadas por problemas de minimización sobre funciones $SBV$ con condiciones de contorno específicas, consistentes con las fórmulas identificadas por Choksi y Fonseca pero adaptadas a las nuevas condiciones de crecimiento.
   • El Teorema 3.16 ofrece una representación completa para el caso en que los integrandos son independientes de la variable espacial $x$. Caracteriza explícitamente la parte de Cantor de la energía relajada en términos de la función de recesión de la densidad de volumen, $H_p^\infty$.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar una "imagen bastante completa" de la relajación de las energías de deformación estructurada bajo condiciones generales de crecimiento de superficie, específicamente aquellas relevantes para la fractura cohesiva. Los autores enfatizan que su enfoque supera las limitaciones de trabajos previos (como [25] y [46]), los cuales requerían normas $BV$ equiboundedas (lo que conducía a la mal formulación de problemas de minimización con energías saturadas) o alteraban la definición de relajación.

Al trabajar en $GBV^\star$ y desarrollar nuevas herramientas técnicas (resultados de densidad, desigualdades de Poincaré y lemas de blow-up adaptados a este espacio), los autores extienden la aplicabilidad de la teoría de deformación estructurada a una clase más amplia de modelos mecánicos. Los resultados se presentan como una base teórica necesaria para el modelado de fractura cohesiva y sólidos cristalinos defectuosos donde las energías de superficie exhiben un comportamiento lineal en el origen y saturación en el infinito. Los autores señalan que el teorema de aproximación y los resultados de densidad asociados para funciones $BV$ son de interés independiente y pueden encontrar aplicaciones en otros contextos que involucren problemas de discontinuidad libre.