Structured deformations for energies with general surface terms

技术摘要：具有一般表面项的能量之结构变形

问题陈述
本文研究了一阶结构变形（first-order structured deformations）的变分理论。该框架由 Del Piero 和 Owen 引入，用于描述材料中的多尺度现象，其中宏观响应受微观滑移、裂纹和排列失序的影响。虽然 Choksi 和 Fonseca 建立了关于结构变形 $(g, G)$（其中 $g$ 为宏观变形，$G$ 解释了平滑的亚宏观变化）的松弛理论，但他们的公式依赖于满足线性增长条件 $c|\zeta| \leq \gamma \leq C|\zeta|$ 的表面能量密度 $\gamma$。

这种线性增长假设排除了具有物理意义的模型，特别是断裂力学中的内聚区模型以及晶体缺陷模型，在这些模型中，表面能量密度预期在小跳跃开口时为线性，但在大开口时趋于饱和（趋向于一个常数）。在数学上，这对应于增长条件 $c(|\zeta| \wedge 1) \leq \gamma \leq C(|\zeta| \wedge 1)$。将该理论扩展到这些“一般表面项”的主要挑战在于，标准的有界变差函数空间（$BV$）及其相关的全变差$|Dg|$控制是不够的。能量密度的无穷远处的饱和性阻止了近似序列的$BV$ 范数的等界性，因此必须转向由 Dal Maso 和 Toader 引入的广义有界变差函数空间 $GBV^\star$。

方法论
作者在空间 $GBV^\star(\Omega; \mathbb{R}^k) \times L^p(\Omega; \mathbb{R}^{k \times d})$ 内开发了一个严谨的变分框架。其方法论依赖于三大支柱：

1. 在 $GBV^\star$ 中的近似： 作者证明，任何具有 $g \in GBV^\star$ 的结构变形 $(g, G)$ 都可以由简单变形序列 $\{(u_n, \nabla u_n)\}$ 近似，其中 $u_n \in SBV$。至关重要的是，这种近似控制了一个特定的非线性量 $V(g, O)$，而非标准的总变差。量 $V$ 定义为：
   $$V(g, O) := \sum_{i=1}^k \left( \int_O |\nabla g_i| \, dx + |D_c g_i|(O) + \int_{J_{g_i} \cap O} |[g_i]| \wedge 1 \, d\mathcal{H}^{d-1} \right)$$
   这需要新的 $BV$函数密度结果（定理 4.1），以及针对跳跃集附近的定制化构造，以确保在$L^0$收敛的同时实现$V$ 的收敛。

2. 通过全局法进行积分表示： 为了刻画松弛能量，作者采用了 Bouchitté, Fonseca 和 Mascarenhas 的全局法。由于存在矩阵场 $G$ 以及 $\gamma$ 特有的增长特性，标准扰动-截断论证（依赖于通过添加表面项来强制线性增长）在此失效，这产生了一个显著的概念性困难。为了规避这一问题，作者避免了使用扰动论证。相反，他们利用围绕体部分（bulk）和表面点（surface points）的吹胀（blow-up）构造，并辅以针对 $GBV^\star$ 定制的新的庞卡莱型不等式（附录 C）和特定的吹胀引理（附录 D）。

3. 松弛与单元公式： 松弛能量 $I_p^\star(g, G)$ 被定义为近似序列能量下极限的下确界。作者证明该松弛泛函具有包含体部分、表面部分和 Cantor 部分的积分表示。其密度通过小立方体上的渐近单元公式进行刻画，区分了仿射边界数据（体部分）和纯跳跃边界数据（表面部分）。

主要贡献与结果

1. 近似定理（定理 3.1）： 本文建立了一个结论，即每个结构变形 $(g, G) \in GBV^\star \times L^p$ 都可以由简单变形序列 $\{(u_n, \nabla u_n)\}$ 近似，使得 $u_n \to g$ 在 $L^0$ 中收敛，$\nabla u_n = G$ 几乎处处成立，且量 $V(u_n, O)$ 被 $C(V(g, O) + \|G\|_{L^1})$ 一致控制。该结果依赖于一个新的密度定理（定理 4.1），该定理表明 $BV$函数可以被$SBV$函数近似，同时保持特定能量泛函$V$ 的收敛。

2. 抽象积分表示（定理 3.7）： 作者证明，任何满足特定增长条件（基于 $V$ 和 $\|G\|_{L^p}$）的 $GBV^\star$ 空间上的下半连续泛函 $F$ 都具有积分表示。该泛函分为绝对连续部分（体部分）、跳跃部分（表面部分）和奇异部分（Cantor 部分）。其体部分和表面部分的密度通过涉及约束类变形最小化的渐近单元公式给出。

3. 松弛能量的显式表示（定理 3.13, 3.14, 3.16）：

   • 定理 3.13 确认了松弛能量 $I_p^\star$ 属于具有抽象表示类的泛函族，其密度由单元公式定义。
   • 定理 3.14 提供了 $p > 1$ 情况下的体部分密度和表面部分密度（$H_p$ 和 $h_p$）的显式表达式。这些密度是通过具有特定边界条件的 $SBV$ 函数的最小化问题给出的，这与 Choksi 和 Fonseca 确定的公式一致，但针对新的增长条件进行了调整。
   • 定理 3.16 为积分函数与空间变量 $x$ 无关的情况提供了完整的表示。它通过体密度 $H_p^\infty$ 的递减函数（recession function）显式地刻画了松弛能量的 Cantor 部分。

意义与主张
本文声称为在一般表面增长条件下（特别是在与内聚断裂相关的条件下）的结构变形能量松弛提供了一个“相当完整的图景”。作者强调，他们的方法克服了以往工作（如 [25] 和 [46]）的局限性，那些工作要么要求等界的 $BV$ 范数（导致最小化问题的病态性），要么改变了松弛的定义。

通过在 $GBV^\star$ 中工作并开发新的技术工具（密度结果、庞卡莱不等式以及适配该空间的吹胀引理），作者扩展了结构变形理论的适用范围。研究结果被视为为建模内聚断裂和缺陷晶体固体（其表面能量在原点附近呈线性并在无穷远处饱和）提供必要的理论基础。作者指出，近似定理及相关的 $BV$ 函数密度结果具有独立的价值，并可能在涉及自由不连续问题的其他领域中得到应用。