Continuity of equilibria in spaces of Bochner and Gel'fand economies

Sintesi Tecnica: Continuità degli Equilibri negli Spazi di Economie di Bochner e Gel'fand

Problematica
Il saggio affronta la continuità delle corrispondenze di equilibrio nella teoria dell'equilibrio generale in contesti a dimensione infinita. Sebbene l'esistenza di equilibri competitivi sia ben stabilita, la stabilità di tali equilibri sotto perturbazioni di parametri esogeni (caratteristiche degli agenti) rimane una questione teorica critica. Negli spazi a dimensione finita, la continuità viene spesso studiata sotto assunzioni di "regolarità" che richiedono la differenziabilità delle funzioni di domanda. Tuttavia, negli spazi di commodity a dimensione infinita — essenziali per modellare mercati finanziari, crescita dinamica e differenziazione delle merci — tali assunzioni di differenziabilità sono spesso insostenibili. Inoltre, le estensioni precedenti alla dimensione infinita sono state limitate a specifiche classi di spazi topologici (ad esempio, spazi di Banach separabili con interni non vuoti nella cono positivo) o a specifiche definizioni integrali (integrali di Bochner su insiemi norm-compatti). Il saggio mira a stabilire risultati di continuità per una classe più ampia di spazi localmente convessi senza fare affidamento sulla differenziabilità, utilizzando sia gli integrali di Bochner che quelli di Gel'fand per definire le dotazioni aggregate.

Metodologia
Lo studio impiega un approccio distributivo per modellare le economie, dove un'economia è definita come una misura di probabilità di Borel su uno spazio di caratteristiche (preferenze e dotazioni). Lo spazio delle commodity $L$ è modellato come un reticolo di Banach, e lo spazio dei prezzi è il suo duale o preduale $L'$.

1. Framework Topologico: L'analisi utilizza un framework unificato che accoglie varie topologie: la topologia della norma ($\|\cdot\|$), la topologia di Mackey ($\tau$) e la topologia debole ($w$). Lo spazio delle commodity $L$ e lo spazio dei prezzi $L'$ sono accoppiati tramite dualità $\langle L, L' \rangle$. Il saggio considera i casi in cui $L'$ è il duale topologico $L^*$ o un preduale di $L$.
2. Definizioni Integrali: Il saggio distingue tra due tipi di economie basate su come vengono definite le dotazioni aggregate:
   • Economie di Bochner: Le dotazioni totali sono definite tramite integrali di Bochner di funzioni fortemente misurabili, applicabili quando $L' = L^*$.
   • Economie di Gel'fand: Le dotazioni totali sono definite tramite integrali di Gel'fand di funzioni debolmente* misurabili, applicabili quando $L$ è uno spazio duale ($L = (L')^*$).
3. Spazio delle Economie: L'insieme delle economie è dotato della topologia debole (metrica di Prohorov), rendendolo uno spazio polacco. La corrispondenza di equilibrio mappa un'economia all'insieme delle allocazioni e dei prezzi di equilibrio.
4. Analisi della Continuità: Gli autori utilizzano strumenti della teoria dei punti fissi e della teoria della misura, specificamente:
   • Teorema della Categoria di Baire: Per identificare sottoinsiemi residui densi dove la continuità è valida.
   • Semi-continuità Superiore e Inferiore: La corrispondenza di equilibrio è mostrata essere superiore semi-continua in generale, e inferiore semi-continua su un sottoinsieme denso.
   • Rappresentazioni Individualizzate: Il saggio collega le economie distribuzionali (misure su spazi di caratteristiche) alle economie individualizzate (mappature misurabili da uno spazio di agenti privo di atomi) utilizzando il teorema di Skorokhod e le proprietà di saturazione.

Assunzioni Chiave
I principali risultati di continuità si basano sulle seguenti assunzioni:

• (PR) Preferenze: Le preferenze sono continue e, per ogni agente, o il paniere è localmente non satiato o è un punto di satiazione.
• (PC) Compattezza: Lo spazio delle preferenze è compatto.
• (IPVE) Ambienti Individualmente Positivamente Valutati: Per ogni vettore di prezzi, quasi tutti gli agenti hanno un valore strettamente positivo per le loro dotazioni.
• (EP) Dotazioni-Prezzi: Una condizione che assicura la semi-continuità inferiore del valore delle dotazioni sotto convergenza debole di sequenze di prezzi e dotazioni.
• (SB) Panieri Satiati: Se un paniere è satiato, deve essere maggiore o uguale alla dotazione.

Risultati Chiave

1. Continuità su un Insieme Residuo Denso: Il risultato primario (Teorema 5.5) stabilisce che la corrispondenza di equilibrio è continua su un sottoinsieme residuo denso (un insieme "grande" nel senso della categoria di Baire) del dominio delle economie che ammettono equilibri. Ciò avviene senza richiedere la differenziabilità delle funzioni di domanda.
2. Trattamento Unificato degli Integrali: I risultati si applicano sia alle economie di Bochner che a quelle di Gel'fand. Questo estende il lavoro precedente (ad esempio, [7]) che era limitato a spazi di Banach separabili con interni non vuoti. Il presente framework include spazi non separabili come $L^\infty$, $\ell^\infty$ e spazi di misure $M(K)$.
3. Economie Individualizzate: Il saggio dimostra che i risultati di continuità per le economie distribuzionali si traducono in economie individualizzate (mappature misurabili da spazi di agenti). Mostra che le economie prive di atomi possono essere approssimate da sequenze di economie con un numero finito di tipi di agenti e, viceversa, i limiti di tali sequenze possono essere privi di atomi.
4. Applicazioni a Modelli Specifici: Il framework è applicato a:
   • Economie neoclassiche con commodity continue ($C(K)$).
   • Economie con risorse non rinnovabili su orizzonti infiniti ($c_0$, $\ell^1$).
   • Economie con risorse rinnovabili e orizzonti temporali continui ($\ell^\infty$, $L^\infty$).
   • Modelli con differenziazione delle commodity ($M(K)$).

Significato e Rivendicazioni
Il saggio rivendica di fornire un trattamento analitico unificato applicabile a una classe di spazi localmente convessi sostanzialmente più ampia rispetto a quanto disponibile in precedenza. Evitando le assunzioni di differenziabilità, i risultati estendono l'ambito della continuità dell'equilibrio dalle economie "regolari" alle economie "essenziali" in contesti a dimensione infinita.

Gli autori sottolineano che il loro approccio:

• Elimina la necessità di assunzioni di separabilità e di interno non vuoto nel cono positivo, che erano restrittive nella letteratura precedente.
• Accoglie diverse strutture topologiche (norma, Mackey, debole) all'interno dello stesso framework, permettendo l'analisi di economie con orizzonti di pianificazione infiniti, competizione monopolistica e informazione asimmetrica.
• Dimostra che la continuità della corrispondenza di equilibrio non dipende dalla scelta specifica dell'integrale (Bochner vs. Gel'fand) purché siano soddisfatte le appropriate condizioni topologiche.

Lo studio conclude che, sebbene l'esistenza degli equilibri sia un prerequisito, la continuità della corrispondenza di equilibrio è una proprietà robusta che si tiene su un sottoinsieme denso dello spazio delle economie ammissibili, rafforzando così il potere esplicativo della teoria dell'equilibrio generale in ambienti complessi a dimensione infinita.