Continuity of equilibria in spaces of Bochner and Gel'fand economies

Resumen Técnico: Continuidad de los Equilibrios en Espacios de Economías de Bochner y Gel'fand

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la continuidad de las correspondencias de equilibrio en la teoría del equilibrio general dentro de entornos de dimensión infinita. Si bien la existencia de equilibrios competitivos está bien establecida, la estabilidad de estos equilibrios bajo perturbaciones de parámetros exógenos (características de los agentes) sigue siendo una preocupación teórica crítica. En espacios de dimensión finita, la continuidad se estudia a menudo bajo supuestos de "regularidad" que requieren la diferenciabilidad de las funciones de demanda. Sin embargo, en espacios de bienes de dimensión infinita —esenciales para modelar mercados financieros, crecimiento dinámico y diferenciación de productos— tales supuestos de diferenciabilidad suelen ser inasumibles. Además, las extensiones previas a dimensiones infinitas se han restringido a espacios topológicos específicos (por ejemplo, espacios de Banach separables con interiores no vacíos en el cono positivo) o definiciones de integrales específicas (integrales de Bochner sobre conjuntos compactos normados). El artículo busca establecer resultados de continuidad para una clase más amplia de espacios localmente convexos sin depender de la diferenciabilidad, utilizando tanto integrales de Bochner como de Gel'fand para definir las dotaciones agregadas.

Metodología
El estudio emplea un enfoque distributivo para modelar las economías, donde una economía se define como una medida de probabilidad de Borel sobre un espacio de características (preferencias y dotaciones). El espacio de bienes $L$ se modela como un retículo de Banach, y el espacio de precios es su dual o predual $L'$.

1. Marco Topológico: El análisis utiliza un marco unificado que acomoda diversas topologías: la topología de la norma ($\|\cdot\|$), la topología de Mackey ($\tau$) y la topología débil ($w$). El espacio de bienes $L$ y el espacio de precios $L'$ están emparejados mediante la dualidad $\langle L, L' \rangle$. El artículo considera casos donde $L'$ es el dual topológico $L^*$ o un predual de $L$.
2. Definiciones de Integral: El artículo distingue entre dos tipos de economías basadas en cómo se definen las dotaciones agregadas:
   • Economías de Bochner: Las dotaciones totales se definen mediante integrales de Bochner de funciones fuertemente medibles, aplicables cuando $L' = L^*$.
   • Economías de Gel'fand: Las dotaciones totales se definen mediante integrales de Gel'fand de funciones débilmente* medibles, aplicables cuando $L$ es un espacio dual ($L = (L')^*$).
3. Espacio de Economías: El conjunto de economías posee la topología débil (métrica de Prohorov), lo que lo convierte en un espacio polaco. La correspondencia de equilibrio mapea una economía al conjunto de asignaciones y precios de equilibrio.
4. Análisis de Continuidad: Los autores utilizan herramientas de la teoría de puntos fijos y la teoría de la medida, específicamente:
   • Teorema de la Categoría de Baire: Para identificar subconjuntos residuales densos donde se cumple la continuidad.
   • Semicontinuidad Superior e Inferior: Se demuestra que la correspondencia de equilibrio es superior hemicontinua en general, e inferior hemicontinua en un subconjunto denso.
   • Representaciones Individualizadas: El artículo vincula las economías distributivas (medidas sobre características) con las economías individualizadas (mapeos medibles desde un espacio de agentes sin átomos) utilizando el teorema de Skorokhod y propiedades de saturación.

Supuestos Clave
Los principales resultados de continuidad se basan en los siguientes supuestos:

• (PR) Preferencias: Las preferencias son continuas, y para cada agente, o bien el conjunto es localmente no saturado, o bien es un punto de saturación.
• (PC) Compacidad: El espacio de preferencias es compacto.
• (IPVE) Entornos de Valor Positivo Individual (Individually Positively Valued Environments): Para cualquier vector de precios, casi todos los agentes tienen un valor estrictamente positivo para sus dotaciones.
• (EP) Dotaciones-Precios: Una condición que asegura la semicontinuidad inferior del valor de las dotaciones bajo la convergencia débil de secuencias de precios y dotaciones.
• (SB) Conjuntos Saturados: Si un conjunto es saturado, debe ser mayor o igual a la dotación.

Resultados Clave

1. Continuidad en un Conjunto Residual Denso: El resultado principal (Teorema 5.5) establece que la correspondencia de equilibrio es continua en un subconjunto residual denso (un conjunto "grande" en el sentido de la categoría de Baire) del dominio de las economías que admiten equilibrios. Esto se sostiene sin requerir la diferenciabilidad de las funciones de demanda.
2. Tratamiento Unificado de Integrales: Los resultados se aplican tanto a las economías de Bochner como a las de Gel'fand. Esto extiende el trabajo previo (por ejemplo, [7]), que estaba limitado a espacios de Banach separables con interiores no vacíos. El marco actual incluye espacios no separables como $L^\infty$, $\ell^\infty$ y espacios de medidas $M(K)$.
3. Economías Individualizadas: El artículo demuestra que los resultados de continuidad para las economías distributivas se trasladan a las economías individualizadas (mapeos medibles desde espacios de agentes). Muestra que las economías sin átomos pueden aproximarse mediante secuencias de economías con un número finito de tipos de agentes y, recíprocamente, que los límites de tales secuencias pueden ser sin átomos.
4. Aplicaciones a Modelos Específicos: El marco se aplica a:
   • Economías neoclásicas con bienes continuos ($C(K)$).
   • Economías con recursos no renovables en horizontes infinitos ($c_0$, $\ell^1$).
   • Economías con recursos renovables y horizontes temporales continuos ($\ell^\infty$, $L^\infty$).
   • Modelos con diferenciación de productos ($M(K)$).

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar un tratamiento analítico unificado aplicable a una clase de espacios localmente convexos sustancialmente más amplia de lo disponible anteriormente. Al evitar los supuestos de diferenciabilidad, los resultados amplían el alcance de la continuidad del equilibrio desde las economías "regulares" hacia las economías "esenciales" en entornos de dimensión infinita.

Los autores enfatizan que su enfoque:

• Elimina la necesidad de supuestos de separabilidad y de interiores no vacíos en el cono positivo, los cuales eran restrictivos en la literatura previa.
• Acomoda diversos procesos topológicos (norma, Mackey, débil) dentro del mismo marco, permitiendo el análisis de economías con horizontes de planificación infinitos, competencia monopolística y asimetría de información.
• Demuestra que la continuidad de la correspondencia de equilibrio no depende de la elección específica de la integral (Bochner vs. Gel'fand) siempre que se cumplan las condiciones topológicas apropiadas.

El estudio concluye que, si bien la existencia de equilibrios es un requisito previo, la continuidad de la correspondencia de equilibrio es una propiedad robusta que se mantiene en un subconjunto denso del espacio de las economías admisibles, reforzando así el poder explicativo de la teoría del equilibrio general en entornos complejos de dimensión infinita.