Continuity of equilibria in spaces of Bochner and Gel'fand economies

Resumo Técnico: Continuidade de Equilíbrios em Espaços de Economias de Bochner e Gel'fand

Enunciado do Problema
O artigo aborda a continuidade das correspondências de equilíbrio na teoria do equilíbrio geral em configurações de dimensões infinitas. Embora a existência de equilíbrios competitivos esteja bem estabelecida, a estabilidade desses equilíbrios sob perturbações de parâmetros exógenos (características dos agentes) permanece uma preocupação teórica crítica. Em espaços de dimensão finita, a continuidade é frequentemente estudada sob pressupostos de "regularidade" que exigem a diferenciabilidade das funções de demanda. No entanto, em espaços de mercadorias de dimensão infinita — essenciais para modelar mercados financeiros, crescimento dinâmico e diferenciação de mercadorias — tais pressupostos de diferenciabilidade são frequentemente insustentáveis. Além disso, extensões anteriores para dimensões infinitas foram restritas a classes específicas de espaços topológicos (por exemplo, espaços de Banach separáveis com interiores não vazios no cone positivo) ou definições integrais específicas (integrais de Bochner sobre conjuntos compactos normais). O artigo busca estabelecer resultados de continuidade para uma classe mais ampla de espaços localmente convexos sem depender de diferenciabilidade, utilizando tanto integrais de Bochner quanto de Gel'fand para definir dotações agregadas.

Metodologia
O estudo emprega uma abordagem distributiva para modelar economias, onde uma economia é definida como uma medida de Borel sobre um espaço de características (preferências e dotações). O espaço de mercadorias $L$ é modelado como um reticulado de Banach, e o espaço de preços é seu dual ou pré-dual $L'$.

1. Estrutura Topológica: A análise utiliza um framework unificado que acomoda várias topologias: a topologia da norma ($\|\cdot\|$), a topologia de Mackey ($\tau$) e a topologia fraca ($w$). O espaço de mercadorias $L$ e o espaço de preços $L'$ são pareados via dualidade $\langle L, L' \rangle$. O artigo considera casos em que $L'$ é o dual topológico $L^*$ ou um pré-dual de $L$.
2. Definições de Integrais: O artigo distingue dois tipos de economias baseadas em como as dotações agregadas são definidas:
   • Economias de Bochner: As dotações totais são definidas via integrais de Bochner de funções fortemente mensuráveis, aplicáveis quando $L' = L^*$.
   • Economias de Gel'fand: As dotações totais são definidas via integrais de Gel'fand de funções fracamente* mensuráveis, aplicáveis quando $L$ é um espaço dual ($L = (L')^*$).
3. Espaço de Economias: O conjunto de economias é dotado da topologia fraca (métrica de Prohorov), tornando-o um espaço polonês. A correspondência de equilíbrio mapeia uma economia ao conjunto de alocações e preços de equilíbrio.
4. Análise de Continuidade: Os autores utilizam ferramentas de teoria de pontos fixos e teoria da medida, especificamente:
   • Teorema da Categoria de Baire: Para identificar subconjuntos residuais densos onde a continuidade ocorre.
   • Semi-continuidade Superior e Inferior: A correspondência de equilíbrio é mostrada como semi-contínua superiormente de forma geral, e semi-contínua inferiormente em um subconjunto denso.
   • Representações Individualizadas: O artigo vincula economias distributivas (medidas sobre características) a economias individualizadas (mapeamentos mensuráveis de um espaço de agentes sem átomos) usando o teorema de Skorokhod e propriedades de saturação.

Principais Pressupostos
Os principais resultados de continuidade baseiam-se nos seguintes pressupostos:

• (PR) Preferências: As preferências são contínuas e, para cada agente, ou o conjunto é localmente não saturado ou é um ponto de satiação.
• (PC) Compacidade: O espaço de preferências é compacto.
• (IPVE) Ambientes Individualmente Valorizados Positivamente: Para qualquer vetor de preços, quase todos os agentes possuem valor estritamente positivo para suas dotações.
• (EP) Dotações-Preços: Uma condição que garante a semi-continuidade inferior do valor das dotações sob convergência fraca de sequências de preços e dotações.
• (SB) Conjuntos Saciados: Se um conjunto é saciado, ele deve ser maior ou igual à dotação.

Principais Resultados

1. Continuidade em um Conjunto Residual Denso: O resultado principal (Teorema 5.5) estabelece que a correspondência de equilíbrio é contínua em um subconjunto residual denso (um conjunto "grande" no sentido da categoria de Baire) do domínio das economias que admitem equilíbrios. Isso ocorre sem exigir a diferenciabilidade das funções de demanda.
2. Tratamento Unificado de Integrais: Os resultados aplicam-se tanto a economias de Bochner quanto de Gel'fand. Isso estende o trabalho anterior (ex: [7]), que era limitado a espaços de Banach separáveis com interiores não vazios. O framework atual inclui espaços não separáveis como $L^\infty$, $\ell^\infty$ e espaços de medidas $M(K)$.
3. Economias Individualizadas: O artigo demonstra que os resultados de continuidade para economias distributivas se traduzem para economias individualizadas (mapeamentos mensuráveis de espaços de agentes). Ele mostra que economias sem átomos podem ser aproximadas por sequências de economias com tipos de agentes finitos e, inversamente, limites de tais sequências podem ser sem átomos.
4. Aplicações a Modelos Específicos: O framework é aplicado a:
   • Economias neoclássicas com mercadorias contínuas ($C(K)$).
   • Economias com recursos não renováveis em horizontes infinitos ($c_0$, $\ell^1$).
   • Economias com recursos renováveis e horizontes de tempo contínuos ($\ell^\infty$, $L^\infty$).
   • Modelos com diferenciação de mercadorias ($M(K)$).

Significância e Alegações
O artigo alega fornecer um tratamento analítico unificado aplicável a uma classe de espaços localmente convexos substancialmente mais ampla do que a disponível anteriormente. Ao evitar pressupostos de diferenciabilidade, os resultados estendem o escopo da continuidade do equilíbrio de economias "regulares" para economias "essenciais" em ambientes de dimensão infinita.

Os autores enfatizam que sua abordagem:

• Remove a necessidade de separabilidade e de pressupostos de interior não vazio no cone positivo, que eram restritivos na literatura anterior.
• Acomoda diversas estruturas topológicas (norma, Mackey, fraca) dentro do mesmo framework, permitendo a análise de economias com horizontes de planejamento infinitos, competição monopolística e assimetria de informação.
• Demonstra que a continuidade da correspondência de equilíbrio não depende da escolha específica do integral (Bochner vs. Gel'fand), desde que as condições topológicas apropriadas sejam atendidas.

O estudo conclui que, embora a existência de equilíbrios seja um pré-requisito, a continuidade da correspondência de equilíbrio é uma propriedade robusta que se mantém em um subconjunto denso do espaço de economias admissíveis, reforçando assim o poder explicativo da teoria do equilíbrio geral em ambientes complexos de dimensão infinita.