Continuity of equilibria in spaces of Bochner and Gel'fand economies

技術的要約：ボホナーおよびゲルファンド経済における均衡の連続性

問題提起
本論文は、無限次元の設定における一般均衡理論における均衡対応の連続性を扱う。競争均衡の存在は確立されているが、外生的パラメータ（エージェントの特性）の摂動下におけるこれらの均衡の安定性は、依然として重要な理論的懸念事項である。有限次元空間では、需要関数の微分可能性を必要とする「正則性」の仮定の下で連続性が研究されることが多い。しかし、金融市場、動学的成長、あるいは商品の差別化をモデル化するために不可欠な無限次元の commodity space（商品空間）においては、このような微分可能性の仮定は維持不可能な場合が多い。さらに、無限次元への従来の拡張は、特定の位相空間（例：正の錐に空でない内部を持つ可分バナッハ空間）や、特定の積分定義（ノルムコンパクト集合上のボホナー積分）に限定されていた。本論文は、微分可能性に依存することなく、総計的な賦存量を定義するためにボホナー積分とゲルファンド積分の両方を利用し、より広範な局所凸空間に対する連続性の結果を確立することを目的としている。

方法論
本研究は、経済を特性（選好と賦存量）のボレル確率測度として定義する、分布的アプローチを採用している。商品空間 $L$ はバナッハ束としてモデル化され、価格空間は $L$ の双対または前双対 $L'$ である。

1. 位相的枠組み: 本分析は、ノルム位相（$\|\cdot\|$）、マッキー位相（$\tau$）、および弱位相（$w$）の様々な位相を収容する統一された枠組みを利用している。商品空間 $L$ と価格空間 $L'$ は、双対性 $\langle L, L' \rangle$ を通じてペアリングされている。本論文では、$L'$ が $L$ の位相的双対 $L^*$ である場合と、$L$ が $L'$ の前双対である場合の両方を検討している。
2. 積分の定義: 本論文は、総計的な賦存量がどのように定義されるかに基づいて、2種類の経済を区別している。
   • ボホナー経済: 総計的な賦存量は、強可測関数のボホナー積分によって定義され、$L' = L^*$ の場合に適用される。
   • ゲルファンド経済: 総計的な賦存量は、弱*可測関数のゲルファンド積分によって定義され、$L$ が双対空間（$L = (L')^*$）である場合に適用される。
3. 経済の空間: 経済の集合には弱位相（プロホロフ距離）が付与されており、これはポーランド空間となっている。均衡対応は、経済から均衡配分および価格の集合への写像である。
4. 連続性の分析: 著者らは、固定点理論および測度論のツールを利用している。具体的には：
   • ベールのカテゴリー定理: 連続性が成立する稠密な残留部分集合を特定するために用いる。
   • 上半連続性と下半連続性: 均衡対応は一般に上半連続であり、稠密な部分集合上で下半連続である。
   • 個別化された表現: 分布的経済（特性上の測度）を、スコロシアの定理および飽和特性を用いて、個別化された経済（エージェント空間からの可測写像）に結びつける。

主要な仮定
主要な連続性の結果は、以下の仮定に基づいている。

• (PR) 選好: 選好は連続であり、すべてのエージェントについて、バンドルが局所的に非飽和であるか、あるいはそれが飽和点である。
• (PC) コンパクト性: 選好の空間はコンパクトである。
• (IPVE) 個別的に正の値を伴う環境: いかなる価格ベクトルに対しても、ほとんどすべてのエージェントが自身の賦存に対して正の価値を持つ。
• (EP) 賦存量と価格: 価格および賦存量の列の弱収束の下で、賦存量の価値の下半連続性を保証する条件。
• (SB) 飽和したバンドル: バンドルが飽和している場合、それは賦存量以上でなければならない。

主要な結果

1. 稠密な残留集合上の連続性: 主要な結果（定理 5.5）は、均衡が存在する経済のドメインにおいて、均衡対応が稠密な残留部分集合（ベール・カテゴリーの意味で「大きな」集合）上で連続であることを確立している。これは、需要関数の微分可能性を必要とせずに成立する。
2. 積分の統一的扱い: 結果は、ボホナー経済とゲルファンド経済の両方に適用される。これにより、可分バナッハ空間かつ正の錐が空でない内部を持つものに限定されていた従来の知見（例：[7]）が拡張される。現在の枠組みは、$L^\infty$、$\ell^\infty$、および測度の空間 $M(K)$ のような非可分空間も包含している。
3. 個別化された経済: 分布的経済の連続性の結果は、個別化された経済（エージェント空間からの可測写像）へと転移する。原子を持たない経済は、有限個のエージェント・タイプを持つ経済の列によって近似可能であり、逆に、それらの列の極限は原子を持たないものになり得ることを示している。
4. 特定のモデルへの適用: 本枠組みは以下のモデルに適用される：
   • 連続的な商品（$C(K)$）を伴う新古典派経済。
   • 無限の期間にわたる非再生資源（$c_0, \ell^1$）を伴う経済。
   • 連続的な時間軸を持つ再生可能資源（$\ell^\infty, L^\infty$）を伴う経済。
   • 商品の差別化（$M(K)$）を伴うモデル。

意義と主張
本論文は、以前よりも実質的に広いクラスの局所凸空間に適用可能な、統一的な分析的扱いを提供すると主張している。微分可能性の仮定を回避することで、本研究の結果は、均衡の連続性の範囲を、無限次元の設定における「正則な」経済から「本質的な」経済へと拡張している。

著者らは、自身のアプローチが以下の点を実現していると強調している：

• 正の錐の可分性および空でない内部という、先行文献における制限的な仮定を取り除いたこと。
• 無限の計画期間、独占的競争、および非対称情報を伴う経済の分析を可能にするため、多様な位相構造（ノルム、マッキー、弱位相）を同一の枠組み内で収容していること。
• 均衡の連続性が、適切な位相的条件が満たされている限り、特定の積分の選択（ボホナーかゲルファンドか）に依存しないことを示していること。

本研究は、均衡の存在が前提条件であるものの、均衡対応の連続性は、許容される経済の空間における稠密な部分集合上で成立する堅牢な特性であり、それによって複雑な無限次元環境における一般均衡理論の説明力を強化するものであると結論付けている。