Continuity of equilibria in spaces of Bochner and Gel'fand economies

Technische Samenvatting: Continuïteit van Evenwichten in Ruimtes van Bochner- en Gel'fand-economieën

Probleemstelling
Het artikel behandelt de continuïteit van evenwichtscorrespondenties binnen de algemene evenwichtstheorie in oneindig-dimensionale omgevingen. Hoewel de existentie van competitieve evenwichten goed gevestigd is, blijft de stabiliteit van deze evenwichten onder perturbaties van exogene parameters (kenmerken van agenten) een kritiek theoretisch vraagstuk. In eindige-dimensionale ruimtes wordt continuïteit vaak bestudeerd onder "regulariteits"-aannames die differentieerbaarheid van vraagfuncties vereisen. Echter, dergelijke differentieerbaarheidsaannames zijn in oneindig-dimensionale goederenruimtes — essentieel voor het modelleren van financiële markten, dynamische groei en goederendifferentiatie — vaak onhoudbaar. Bovendien waren eerdere uitbreidingen naar oneindige dimensies beperkt tot specifieke topologische ruimtes (bijv. scheidbare Banachruimtes met niet-lege interieurs in de positieve kegel) of specifieke integrale definities (Bochner-integralen over norm-compacte verzamelingen). Het artikel beoogt continuïteitsresultaten te vestigen voor een bredere klasse van lokaal convexe ruimtes zonder te vertrouwen op differentieerbaarheid, waarbij zowel Bochner- als Gel'fand-integralen worden gebruikt om geaggregeerde endowments te definiëren.

Methodologie
De studie maakt gebruik van een distributionele benadering voor het modelleren van economieën, waarbij een economie wordt gedefinieerd als een Borel-waarschijnlijkheidsmaat op een ruimte van kenmerken (voorkeuren en endowments). De goederenruimte $L$ wordt gemodelleerd als een Banach-lattis, en de prijsruimte is de duale of preduale van $L'$.

1. Topologisch Kader: De analyse maakt gebruik van een verenigd kader dat verschillende topologieën accommodeert: de normtopologie ($\|\cdot\|$), de Mackey-topologie ($\tau$) en de zwakke topologie ($w$). De goederenruimte $L$ en de prijsruimte $L'$ zijn gekoppeld via dualiteit $\langle L, L' \rangle$. Het artikel beschouwt gevallen waarin $L'$ de topologische duale $L^*$ is of een preduaal van $L$.
2. Integrale Definities: Het artikel maakt onderscheid tussen twee typen economieën op basis van hoe de geaggregeerde endowments worden gedefinieerd:
   • Bochner-economieën: Totale endowments worden gedefinieerd via Bochner-integralen van sterk meetbare functies, toepasbaar wanneer $L' = L^*$.
   • Gel'fand-economieën: Totale endowments worden gedefinieerd via Gel'fand-integralen van zwak* meetbare functies, toepasbaar wanneer $L$ een duale ruimte is ($L = (L')^*$).
3. Ruimte van Economieën: De verzameling economieën is voorzien van de zwakke topologie (Prohorov-metriek), waardoor het een Polish-ruimte is. De evenwichtscorrespondentie brengt een economie in verband met de verzameling van evenwichtsallocaties en prijzen.
4. Continuïteitsanalyse: De auteurs maken gebruik van instrumenten uit de fixpunttheorie en de maattheorie, specifiek:
   • Baire Categorie-stelling: Om dichte residuele deelverzamelingen te identificeren waar continuïteit standhoudt.
   • Bovenste en Onderste Semi-continuïteit: De evenwichtscorrespondentie is over het algemeen bovenste semi-continu, en onderste semi-continu op een dichte deelverzameling.
   • Geindividualiseerde Representaties: Het artikel koppelt distributionele economieën (maten op kenmerken) aan geïndividualiseerde economieën (meetbare afbeeldingen van een atomloze agentenruimte) met behulp van de Stelling van Skorokhod en verzadigingseigenschappen.

Kernaannames
De belangrijkste continuïteitsresultaten rusten op de volgende aannames:

• (PR) Voorkeuren: Voorkeuren zijn continu, en voor elke agent is ofwel het bundel lokaal niet-verzadigd, ofwel een verzadigingspunt.
• (PC) Compactheid: De ruimte van voorkeuren is compact.
• (IPVE) Individueel Positief Gewaardeerde Omgevingen: Voor elke prijsvector hebben bijna alle agenten een strikt positieve waarde voor hun endowments.
• (EP) Endowments-Prijzen: Een conditie die zorgt voor de lagere semi-continuïteit van de waarde van de endowments onder zwakke convergentie van prijzen- en endowment-sequenties.
• (SB) Verzadigde Bundels: Als een bundel verzadigd is, moet deze groter dan of gelijk aan de endowment zijn.

Kernresultaten

1. Continuïteit op een Dichte Residuele Verzameling: Het primaire resultaat (Theorema 5.5) stelt vast dat de evenwichtscorrespondentie continu is op een dichte residuele deelverzameling (een "grote" verzameling in de zin van de Baire-categorie) van het domein van economieën die evenwichten toelaten. Dit houdt stand zonder de noodzaak van differentieerbaarheidsaannames van vraagfuncties.
2. Verenigde Behandeling van Integralen: De resultaten zijn van toepassing op zowel Bochner- als Gel'fand-economieën. Dit breidt eerder werk (bijv. [7]) uit, dat beperkt was tot scheidbare Banachruimtes met niet-lege interieurs in de positieve kegel. Het huidige kader omvat niet-scheidbare ruimtes zoals $L^\infty$, $\ell^\infty$, en ruimtes van maten $M(K)$.
3. Geindividualiseerde Economieën: Het artikel toont aan dat de continuiteitsresultaten voor distributionele economieën vertaald kunnen worden naar geïndividualiseerde economieën (meetbare afbeeldingen van agentenruimtes). Het toont aan dat atomloze economieën benaderd kunnen worden door sequenties van economieën met een eindig aantal agenttypen, en omgekeerd, dat limieten van dergelijke sequenties atomloos kunnen zijn.
4. Toepassingen op Specifieke Modellen: Het kader wordt toegepast op:
   • Neoclassicistische economieën met continue goederen ($C(K)$).
   • Economieën met niet-hernieuwbare hulpbronnen over oneindige horizonten ($c_0$, $\ell^1$).
   • Economieën met hernieuwbare hulpbronnen en continue tijdshorizonten ($\ell^\infty$, $L^\infty$).
   • Modellen met goederendifferentiatie ($M(K)$).

Betekenis en Claims
Het artikel claimt een verenigde analytische behandeling te bieden die toepasbaar is op een substantieel bredere klasse van lokaal convexe ruimtes dan voorheen beschikbaar. Door de differentieerbaarheidsaannames te vermijden, breiden de resultaten de reikwijdte van evenwichtscontinuïteit uit van "reguliere" economieën naar "essentiële" economieën in oneindig-dimensionale settings.

De auteurs benadrukken dat hun benadering:

• De noodzaak van scheidbaarheid en aannames over niet-lege interieurs in de positieve kegel wegneemt, welke restrictief waren in de eerdere literatuur.
• Diverse topologische structuren (norm, Mackey, zwak) binnen hetzelfde kader accommodeert, wat de analyse van economieën met oneindige planninghorizonten, monopolistische concurrentie en asymmetrische informatie mogelijk maakt.
• Aantoont dat de continuïteit van de evenwichtscorrespondentie niet afhankelijk is van de specifieke keuze van integraal (Bochner versus Gel'fand), zolang aan de passende topologische condities wordt voldaan.

De studie concludeert dat, hoewel de existentie van evenwichten een vereiste is, de continuïteit van de evenwichtscorrespondentie een robuuste eigenschap is die standhoudt op een dichte deelverzameling van de ruimte van toelaatbare economieën, waarmee de verklarende kracht van de algemene evenwichtstheorie in complexe, oneindig-dimensionale omgevingen wordt versterkt.