Robust Sampling-Based Covariance Steering for Aerocapture Guidance

Sintesi Tecnica: Covariance Steering basata su Campionamento Robusto per la Guida all'Aerocapture

Definizione del Problema
L'aerocapture è una manovra critica per abilitare missioni a lunga durata con carichi utili pesanti, come il Mars Sample Return e il proposto Uranus Orbiter and Probe. Utilizzando la resistenza atmosferica per ridurre la velocità, l'aerocapture offre risparmi di carburante significativi e tempi di transito ridotti rispetto all'inserimento puramente propulsivo o all'aerobraking. Tuttavia, la manovra è altamente sensibile alle incertezze nello stato iniziale di ingresso e nella densità atmosferica.

Gli esistenti algoritmi di guida deterministici (architetture predictor-corrector) sono sensibili ai disallineamenti del profilo atmosferico, fallendo spesso quando la densità reale devia dalle previsioni. Sebbene siano stati sviluppati metodi di covariance steering a vincoli di probabilità (chance-constrained) che modellano l'incertezza atmosferica come un campo casuale gaussiano, gli approcci precedenti soffrono di due limitazioni principali:

1. Spesso linearizzano la dinamica, non tenendo conto delle non linearità causate dalla dipendenza dello stato dall'incertezza atmosferica e dalla natura intrinsecamente non lineare dell'aerocapture.
2. Tipicamente assumono che la funzione obiettivo (il $\Delta V$ richiesto) sia ben approssimabile da una distribuzione gaussiana, il che potrebbe non essere vero per sistemi altamente non lineari.

Gli autori affrontano il problema di ottimizzazione stocastica volto a minimizzare il $X$-esimo percentile del $\Delta V$ richiesto (tipicamente il 99° o il 99,7°) soggetto a vincoli probabilistici dell'angolo di bank, dispersione dello stato iniziale gaussiana e disturbi atmosferici dipendenti dallo stato modellati come un campo casuale gaussiano.

Metodologia
Il documento propone un algoritmo di Robust Sampling-Based Covariance Steering che integra la successiva convessificazione con una valutazione dell'obiettivo basata sul campionamento. L'approccio principale prevede:

1. Linearizzazione Successiva e Convessificazione:
   L'algoritmo adotta un approccio di successiva convessificazione. Genera una traiettoria di controllo nominale e linearizza la dinamica non lineare dell'aerocapture attorno a questa traiettoria e al disturbo atmosferico medio. Ciò trasforma il problema stocastico in un problema di covariance steering convesso risolvibile tramite solver commerciali. L'evoluzione della covarianza dello stato è modellata utilizzando una legge di controllo feedback parametrizzata da una variabile decisionale $L$, consentendo l'ottimizzazione della propagazione della covarianza.

2. Obiettivo basato su Campionamento Robusto:
   Per affrontare la non linearità della funzione obiettivo del $\Delta V$ e la dipendenza dello stato dai disturbi, gli autori introducono una funzione di costo basata sul campionamento:

• Propagazione dei Sigma Point: L'algoritmo campiona $2n$ sigma point simmetricamente sul contorno di covarianza della distribuzione dello stato iniziale.
• Rollout della Traiettoria Non Lineare: Questi sigma point vengono propagati attraverso la dinamica del sistema reale non lineare (inclusi i disturbi atmosferici dipendenti dallo stato) per generare una collezione di traiettorie.
• Approssimazione del Caso Peggiore: La funzione obiettivo viene valutata agli stati di uscita di queste traiettorie campionate. La funzione di costo è formulata per minimizzare il peggior caso del $X$-esimo percentile del $\Delta V$ su questa collezione di traiettorie gaussiane. Ciò penalizza efficacementamente le traiettorie dei sigma point associate a un alto $\Delta V$ e tiene conto delle variazioni della funzione obiettivo che la sola linearizzazione perderebbe.

3. Vincoli di Trust Region:
   Per garantire la validità dell'approssimazione convessa linearizzata, l'algoritmo impone vincoli di trust region sugli input di controllo e sulle variabili di stato (specificamente la pressione dinamica e l'apoapside di uscita). Il processo itera (Algoritmo 1), rilinearizzando e risolvendo nuovamente il problema convesso fino alla convergenza.

Contributi Chiave

• Sviluppo dell'Algoritmo: Lo sviluppo di un nuovo algoritmo di covariance steering basato su campionamento robusto progettato specificamente per la guida all'aerocapture sotto disturbi ambientali dipendenti dallo stato.
• Gestione delle Non Linearità: Il metodo affronta esplicitamente le non linearità derivanti sia dalla dinamica dell'aerocapture che dalla dipendenza dello stato dall'incertezza atmosferica, propagando i sigma point attraverso il sistema non lineare invece di fare affidamento esclusivamente su approssimazioni linearizzate per la valutazione dell'obiettivo.
• Riformulazione della Funzione Obiettivo: La formulazione di una funzione di costo che approssima il peggior caso del percentile $\Delta V$ su una collezione di traiettorie campionate, migliorando la robustezza rispetto agli errori dello stato iniziale e alle non linearità dinamiche.

Risultati
Gli autori hanno valutato l'algoritmo proposto rispetto a un baseline di stato dell'arte di covariance steering non lineare iterativo (Ridderhof & Tsiotras) utilizzando simulazioni Monte Carlo in tre scenari:

1. Marte (Piccola Dispersione): Uno scenario con piccola dispersione dello stato iniziale.
2. Marte (Grande Dispersione): Uno scenario più impegnativo con una maggiore dispersione della velocità iniziale.
3. Urano: Uno scenario realistico, con stati iniziali dispersi, orbite target altamente ellittiche e alta incertezza atmosferica (utilizzando UranusGRAM).

Metriche di Prestazione:

• Marte (Piccola Dispersione): Il metodo proposto ha ridotto il 99,7° percentile e il $\Delta V$ del caso peggiore del 15% e il 99° percentile del $\Delta V$ del 5% rispetto al baseline.
• Marte (Grande Dispersione): Il metodo ha ridotto il $\Delta V$ del caso peggiore del 6,5%, il 99,7° percentile del $\Delta V$ del 14% e il 99° percentile del $\Delta V$ del 15%.
• Urano: Il metodo ha ridotto il $\Delta V$ del caso peggiore e il 99,7° percentile del $\Delta V$ di circa il 12%, e il 99° percentile del $\Delta V$ del 13,5%.

In tutti gli scenari, l'algoritmo ha dimostrato riduzioni significative nella coda della distribuzione del $\Delta V$ (i casi più critici) senza aumentare il $\Delta V$ medio. I miglioramenti sono stati più pronunciati nel 5% più difficile dei casi Monte Carlo.

Significatività e Rivendicazioni
Il documento afferma che il proposto algoritmo di covariance steering basato su campionamento robusto offre una riduzione del 5-15% nel 99° percentile, nel 99,7° percentile e nel $\Delta V$ del caso peggiore richiesto per l'aerocapture rispetto ai metodi esistenti all'avanguardia. Gli autori sottolineano che questo miglioramento è ottenuto modellando meglio le non linearità inerenti al sistema e la dipendenza dello stato dai disturbi atmosferici, aumentando così la robustezza della soluzione di guida rispetto agli errori dello stato iniziale e alle incertezze atmosferiche. Il lavoro suggerisce che questo approccio abilita un'aerocapture più sicura ed efficiente per missioni ad alta priorità come il Mars Sample Return e l'esplorazione di Urano.

Lavoro Futuro
Gli autori osservano che il lavoro futuro potrebbe prevedere l'aggiornamento dell'atmosfera stimata e dell'incertezza online per rieseguire l'algoritmo, migliorando potenzialmente le prestazioni in condizioni iniziali altamente incerte. Inoltre, il metodo potrebbe essere esteso per gestire dispersioni dello stato iniziale non gaussiane.