Robust Sampling-Based Covariance Steering for Aerocapture Guidance

Resumo Técnico: Direção de Captura Aerodinâmica Baseada em Amostragem Robusta com Controle de Covariância

Declaração do Problema
A captura aerodinâmica (aerocapture) é uma manobra crítica para viabilizar missões de longa duração com cargas úteis pesadas, como o Retorno de Amostras de Marte e o proposto Orbitador e Sonda de Urano. Ao utilizar o arrasto atmosférico para reduzir a velocidade, a captura aerodinâmica oferece economias significativas de combustível e tempos de trânsito reduzidos em comparação com a inserção puramente propulsiva ou o aerobraking. No entanto, a manobra é altamente sensível a incertezas no estado inicial de entrada e na densidade atmosférica.

Algoritmos de direção determinísticos existentes (arquiteturas preditor-corretor) são sensíveis a desvios no perfil atmosférico, falhando frequentemente quando a densidade real diverge das previsões. Métodos de controle de covariância com restrições de probabilidade (chance-constrained) foram desenvolvidos para modelar a incerteza atmosférica como um campo aleatório Gaussiano, mas abordagens anteriores sofrem de duas limitações principais:

1. Elas frequentemente linearizam a dinâmica, falhando em considerar as não linearidades causadas pela dependência do estado da incerteza atmosférica e pela inerente dinâmica não linear da captura aerodinâmica.
2. Elas tipicamente assumem que a função objetivo (o $\Delta V$ requerido) é bem aproximada por uma distribuição Gaussiana, o que pode não ser verdade para sistemas altamente não lineares.

Os autores abordam o problema de otimização estocástica de minimizar o percentil $X$ do $\Delta V$ requerido (tipicamente o 99º ou 99,7º) sujeito a restrições probabilísticas de ângulo de bank, dispersão do estado inicial Gaussiana e distúrbios atmosféricos dependentes do estado modelados como um campo aleatório Gaussiano.

Metodologia
O artigo propõe um algoritmo de Direção de Covariância Baseada em Amostragem Robusta que integra a convexificação sucessiva com uma avaliação de objetivo baseada em amostragem. A abordagem central envolve:

1. Linearização e Convexificação Iterativa:
   O algoritmo adota uma abordagem de convexificação sucessiva. Ele gera uma trajetória de controle nominal e lineariza a dinâmica não linear de captura aerodinâmica em torno desta trajetória e da média do distúrbio atmosférico. Isso transforma o problema estocástico em um problema de controle de covariância convexo, solucionável por solvers comerciais. A evolução da covariância do estado é modelada usando uma lei de controle de feedback parametrizada por uma variável de decisão $L$, permitindo a otimização da propagação da covariância.

2. Objetivo Baseado em Amostragem Robusta:
   Para lidar com a não linearidade da função objetivo do $\Delta V$ e a dependência do estado dos distúrbios, os autores introduzem uma função de custo baseada em amostragem:

   • Propagação de Pontos Sigma: O algoritmo amostra $2n$ pontos sigma simetricamente no contorno de covariância da distribuição do estado inicial.
   • Rollout de Trajetória Não Linear: Estes pontos sigma são propagados através da dinâmica do sistema verdadeiramente não linear (incluindo o distúrbio atmosférico dependente do estado) para gerar uma coleção de trajetórias.
   • Aproximação de Pior Caso: A função objetivo é avaliada nos estados de saída destas trajetórias amostradas. A função de custo é formulada para minimizar o pior caso do percentil $X$ do $\Delta V$ sobre esta coleção de trajetórias Gaussianas. Isso efetivamente penaliza trajetórias de pontos sigma associadas a altos $\Delta V$ e considera variações na função objetivo que a linearização sozinha deixaria passar.

3. Restrições de Região de Confiança (Trust Region):
   Para garantir a validade da aproximação convexa linearizada, o algoritmo impõe restrições de região de confiança sobre os inputs de controle e variáveis de estado (especificamente pressão dinâmica e apoastro de saída). O processo itera (Algoritmo 1), relinearizando e resolvendo novamente o problema convexo até a convergência.

Principais Contribuições

• Desenvolvimento de Algoritmo: O desenvolvimento de um novo algoritmo de direção de controle de covariância baseado em amostragem robusta, projetado especificamente para a direção de captura aerodinâmica sob distúrbios ambientais dependentes do estado.
• Tratamento de Não Linearidade: O método aborda explicitamente as não linearidades decorrentes tanto da dinâmica de captura aerodinâmica quanto da dependência do estado dos distúrbios atmosféricos, ao propagar pontos sigma através do sistema não linear em vez de depender apenas de aproximações lineares para a avaliação do objetivo.
• Reformulação da Função Objetivo: A formulação de uma função de custo que aproxima o pior caso do percentil $\Delta V$ sobre uma coleção de trajetórias amostradas, melhorando a robustez a erros de estado inicial e não linearidades dinâmicas.

Resultados
Os autores avaliaram o algoritmo proposto contra um baseline de estado da arte de controle de covariância iterativo não linear (Ridderhof & Tsiotras) usando simulações de Monte Carlo em três cenários:

1. Marte (Pequena Dispersão): Um cenário com pequena dispersão do estado inicial.
2. Marte (Grande Dispersão): Um cenário mais desafiador com grande dispersão de velocidade inicial.
3. Urano: Um cenário realista, com estados iniciais dispersos, órbitas alvo altamente elípticas e alta incerteza atmosférica (usando UranusGRAM).

Métricas de Desempenho:

• Marte (Pequena Dispersão): O método proposto reduziu o percentil 99,7 e o pior caso do $\Delta V$ em 15% e o percentil 99 do $\Delta V$ em 5% em comparação com o baseline.
• Marte (Grande Dispersão): O método reduziu o pior caso do $\Delta V$ em 6,5%, o percentil 99,7 em 14% e o percentil 99 em 15%.
• Urano: O método reduziu o pior caso do $\Delta V$ e o percentil 99,7 em aproximadamente 12%, e o percentil 99 em 13,5%.

Em todos os cenários, o algoritmo demonstrou reduções significativas na cauda da distribuição do $\Delta V$ (os casos mais críticos) sem aumentar o $\Delta V$ médio. As melhorias foram mais pronunciadas nos 5% de casos de Monte Carlo mais difíceis.

Significância e Alegações
O artigo afirma que o algoritmo de controle de covariância baseado em amostragem robusta proposto oferece uma redução de 5-15% no percentil 99, no percentil 99,7 e no pior caso do $\Delta V$ requerido para a captura aerodinâmica em comparação com os métodos de estado da arte existentes. Os autores enfatizam que este ganho é alcançado ao modelar melhor as não linearidades inerentes ao sistema e a dependência do estado dos distúrbios atmosféricos, aumentando assim a robustez da solução de direção aos erros de estado inicial e incertezas atmosféricas. O trabalho sugere que esta abordagem possibilita uma captura aerodinâmica mais segura e eficiente para missões de alta prioridade, como o Retorno de Amostras de Marte e a exploração de Urano.

Trabalhos Futuros
Os autores observam que trabalhos futuros poderiam envolver a atualização da atmosfera estimada e da incerteza online para executar o algoritmo novamente, potencialmente melhorando o desempenho em condições iniciais altamente incertas. Adicionalmente, o método poderia ser estendido para lidar com dispersões de estado inicial não Gaussianas.