On $m$-order logarithmic Schrödinger operator

Sintesi Tecnica: Sull'operatore di Schrödinger logaritmico di ordine $m$

Enunciato del Problema
Questo articolo investiga il logaritmo di ordine $m$ dell'operatore di Schrödinger $L_V = -\Delta + V$ in $\mathbb{R}^d$, dove $V$ è un potenziale misurabile non negativo. Sebbene il Laplaciano logaritmico $\log(-\Delta)$ e i suoi controparti di ordine superiore siano stati studiati estensivamente negli ultimi anni (ad esempio, [5, 9]), l'estensione di questi concetti all'impostazione di Schrödinger con un potenziale $V$ presenta sfide analitiche specifiche. L'obiettivo primario è definire gli operatori $\log^m L_V$ per $m \in \mathbb{N}$ e utilizzare tali operatori per derivare espansioni asintotiche (serie di Taylor) per le potenze frazionarie $L_V^s$ e $L_V^{-s}$ quando l'ordine $s \to 0^+$. Lo studio si concentra sull'instaurare queste espansioni negli spazi $L^p(\mathbb{R}^d)$ e puntualmente per specifiche classi di funzioni, affrontando il fatto che il semigruppo associato non è markoviano quando $V > 0$.

Metodologia
Gli autori impiegano un approccio di teoria spettrale combinato con stime del nucleo del calore (heat kernel).

1. Definizione Spettrale: L'operatore $L_V$ è trattato come un operatore autoaggiunto su $L^2(\mathbb{R}^d)$ associato a una forma sesquilinea chiusa. Utilizzando la misura spettrale $E_V$ supportata su $[0, \infty)$, le potenze frazionarie $L_V^s$ e gli operatori logaritmici $\log^m L_V$ sono definiti tramite l'integrale spettrale:
   $$\Phi(L_V)f = \int_0^\infty \Phi(\lambda) dE_V(\lambda)f.$$
2. Estensione del Semigruppo: La definizione degli operatori logaritmici è estesa da $L^2(\mathbb{R}^d)$ a una classe più ampia di funzioni Lipschitz utilizzando il semigruppo del calore $\{T_t^V\}_{t>0}$ generato da $L_V$. Gli autori utilizzano la rappresentazione integrale:
   $$L_V^s f = \frac{1}{\Gamma(-s)} \int_0^\infty \frac{T_t^V f - f}{t^{s+1}} dt,$$
   valida per $s \in (0, 1)$ e per funzioni idonee.
3. Condizioni sul Potenziale: L'analisi assume $d \ge 3$ e che il potenziale $V$ soddisfi una disuguaglianza di Hölder inversa ($V \in RH_q$ con $q > d/2$). Questa condizione permette l'uso della funzione del raggio critico $\rho(x)$ e di stime migliorate del nucleo del calore (specificamente, vincoli che coinvolgono $\rho(x)$ e il nucleo del calore euclideo).
4. Analisi Asintotica: Il nucleo del lavoro tecnico consiste nell'analizzare il comportamento dei quozienti differenziali $\frac{L_V^s f - f}{s}$ e delle loro derivate di ordine superiore rispetto a $s$ quando $s \to 0^+$. Gli autori decompongono le rappresentazioni integrali in parti localizzate e non localizzate per gestire la singolarità in $t=0$ e il comportamento all'infinito, utilizzando le proprietà della funzione Gamma e della funzione del raggio critico.

Contributi Chiave e Risultati

• Definizione di Operatori Logaritmici di Ordine Superiore: Il documento definisce rigorosamente l'operatore di Schrödinger logaritmico di ordine $m$, $\log^m L_V$, tramite la misura spettrale. Estende inoltre la definizione dell'operatore $\text{Log}^k L_V$ (che agisce come il limite puntuale delle derivate delle potenze frazionarie) a funzioni appartenenti agli spazi Lipschitz locali intersecati con spazi $L^1$ pesati.
• Espansioni Asintotiche in $L^2$: Il Teorema 1.1 stabilisce espansioni di Taylor per $L_V^s f$ e $L_V^{-s} f$ in $L^2(\mathbb{R}^d)$ per funzioni nel dominio degli operatori logaritmici. Nello specifico, per $f \in D(\log^{m+1} L_V) \cap D(L_V^{s_0})$:
  $$L_V^s f - \sum_{k=0}^m \frac{s^k}{k!} (\log^k L_V)f = o(s^m) \quad \text{per } s \to 0^+.$$
  Una simile espansione è fornita per le potenze negative con segni alternati.
• Convergenza in $L^p$ e $L^\infty$: Il Teorema 1.2 e il Teorema 1.3 estendono questi risultati a $L^p(\mathbb{R}^d)$ ($1 < p < \infty$) e a $L^\infty(K)$ per insiemi compatti $K$. Questi risultati valgono per funzioni in $C_c(\mathbb{R}^d) \cap \text{Lip}_{\text{loc,uni}}^\theta(\mathbb{R}^d)$ e $\text{in } L^1 \cap L^\infty \cap \text{Lip}_{\text{loc,uni}}^\theta(\mathbb{R}^d)$. Le espansioni sono date da:
  $$\lim_{s \to 0^+} \frac{L_V^s f - f - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{s^k}{k!} (\text{Log}^k L_V)f}{s^n/n!} = (\text{Log}^n L_V)f.$$
• Rappresentazione Puntuale: Il documento fornisce rappresentazioni integrali puntuali esplicite per gli operatori $\text{Log}^k L_V$, generalizzando la nota rappresentazione per $\log L_V$ presente in [1]. Queste rappresentazioni coinvolgono integrali del nucleo del calore $T_t^V(x, y)$ e della funzione del raggio critico $\rho(x)$, evidenziando che i termini di correzione non sono costanti (a differenza del caso del puro Laplaciano) a causa della natura non markoviana del semigruppo.
• Applicazione alle Equazioni Frazionarie: Il Corollario 1.4 dimostra che queste espansioni possono essere utilizzate per descrivere la soluzione $u_{f,s} = L_V^{-s} f$ dell'equazione $L_V^s u = f$ con condizioni al contorno nulle all'infinito, fornendo una serie asintotica in termini degli operatori logaritmici al tendere di $s \to 0$.

Significatività e Rivendicazioni
Gli autori affermano che questo lavoro generalizza i risultati precedenti sul Laplaciano logaritmico (specificamente quelli di Chen [5] e Chen-Weth [9]) all'impostazione dell'operatore di Schrödinger con potenziali non banali. Un aspetto significativo del documento è la gestione dei fattori di correzione non costanti derivanti dal potenziale $V$, il che richiede l'uso della funzione del raggio critico $\rho(x)$ e di specifiche condizioni di Hölder inversa. I risultati forniscono un quadro rigoroso per comprendere il comportamento delle potenze frazionarie degli operatori di Schrödinger vicino all'identità (ovvero, quando l'ordine tende a zero) attraverso le loro derivate logaritmiche. Il documento non propone nuove applicazioni sperimentali, ma stabilisce le fondamenta teoriche per le espansioni asintotiche in questo specifico contesto operatore-teoretico.