On $m$-order logarithmic Schrödinger operator

技术摘要：关于 $m$ 阶对数薛定谔算子

问题陈述
本文研究了 $\mathbb{R}^d$ 中薛定谔算子 $L_V = -\Delta + V$ 的 $m$ 阶对数，其中 $V$ 是一个非负可测势函数。虽然对数拉普拉斯算子 $\log(-\Delta)$ 及其高阶对应物在近年来已被广泛研究（例如 [5, 9]），但将这些概念扩展到带有势函数 $V$ 的薛定谔设置中面临着特定的分析挑战。主要目标是定义对于 $m \in \mathbb{N}$ 的算子 $\log^m L_V$，并利用它们来推导分数幂 $L_V^s$ 和 $L_V^{-s}$ 在 $s \to 0^+$ 时的渐近展开（泰勒级数）。研究重点是在 $L^p(\mathbb{R}^d)$ 空间中建立这些展开，并在特定类函数的点处进行讨论，同时处理由于 $V > 0$ 导致相关的半群不具有马尔可夫性质的问题。

方法论
作者采用了结合热核估计的谱理论方法。

1. 谱定义： 将算子 $L_V$ 处理为与闭双线性型相关的 $L^2(\mathbb{R}^d)$ 上的自伴算子。利用支撑在 $[0, \infty)$ 上的谱测度 $E_V$，通过谱积分定义分数幂 $L_V^s$ 和对数算子 $\log^m L_V$：
   $$\Phi(L_V)f = \int_0^\infty \Phi(\lambda) dE_V(\lambda)f.$$
2. 半群扩展： 通过由 $L_V$ 生成的热半群 $\{T_t^V\}_{t>0}$，将对数算子的定义从 $L^2(\mathbb{R}^d)$ 扩展到更广泛的 Lipschitz 函数类。作者利用积分表示：
   $$L_V^s f = \frac{1}{\Gamma(-s)} \int_0^\infty \frac{T_t^V f - f}{t^{s+1}} dt,$$
   该式对 $s \in (0, 1)$ 及合适的 $f$ 成立。
3. 势函数条件： 分析假设 $d \ge 3$ 且势函数 $V$ 满足反向赫尔德不等式（$V \in RH_q$，其中 $q > d/2$）。该条件允许使用临界半径函数 $\rho(x)$ 以及改进的热核估计（具体而言，是涉及 $\rho(x)$ 和欧几里得热核的界限）。
4. 渐近分析： 核心技术工作涉及分析差分商 $\frac{L_V^s f - f}{s}$ 及其关于 $s$ 的高阶导数在 $s \to 0^+$ 时的行为。作者通过将积分表示分解为局部部分和非局部部分，以处理 $t=0$ 处的奇异性以及无穷远处的行为，并利用 Gamma 函数和临界半径函数的性质。

主要贡献与结果

• 高阶对数算子的定义： 本文通过谱测度严格定义了 $m$ 阶对数薛定谔算子 $\log^m L_V$。此外，它进一步将算子 $\text{Log}^k L_V$（作为分数幂导数的点处极限）的定义扩展到局部 Lipschitz 空间与加权 $L^1$ 空间的交集中的函数。
• $L^2$ 中的渐近展开： 定理 1.1 建立了对于属于对数算子定义域内的函数 $f$ 的 $L_V^s f$ 和 $L_V^{-s} f$ 的泰勒展开。具体而言，对于 $f \in D(\log^{m+1} L_V) \cap D(L_V^{s_0})$：
  $$L_V^s f - \sum_{k=0}^m \frac{s^k}{k!} (\log^k L_V)f = o(s^m) \quad \text{当 } s \to 0^+ \text{ 时}。$$
  对于负幂次，也提供了具有交替符号的类似展开。
• $L^p$ 与 $L^\infty$ 中的收敛性： 定理 1.2 和定理 1.3 将这些结果扩展到 $L^p(\mathbb{R}^d)$ ($1 < p < \infty$) 以及紧集 $K$ 上的 $L^\infty(K)$。这些结果适用于 $f \in C_c(\mathbb{R}^d) \cap \text{Lip}_{\text{loc,uni}}^\theta(\mathbb{R}^d)$ 以及 $L^1 \cap L^\infty \cap \text{Lip}_{\text{loc,uni}}^\theta(\mathbb{R}^d)$。展开式为：
  $$\lim_{s \to 0^+} \frac{L_V^s f - f - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{s^k}{k!} (\text{Log}^k L_V)f}{s^n/n!} = (\text{Log}^n L_V)f.$$
• 点处表示： 本文提供了 $\text{Log}^k L_V$ 算子的显式点处积分表示，推广了 [1] 中已知的 $\log L_V$ 表示。这些表示涉及热核 $T_t^V(x, y)$ 和临界半径函数 $\rho(x)$ 的积分，强调了由于半群的非马尔可夫性质，修正项并非常数（这与纯拉普拉斯情形不同）。
• 对分数方程的应用： 推论 1.4 表明，这些展开式可以用于描述方程 $L_V^s u = f$（具有无穷远处的消失边界条件）的解 $u_{f,s} = L_V^{-s} f$，并提供一个关于对数算子的渐近级数，当 $s \to 0$ 时。

意义与主张
作者声称这项工作将先前关于对数拉普拉斯算子的结果（特别是 Chen [5] 和 Chen-Weth [9] 的研究）推广到了带有非平凡势函数的薛定谔算子设置中。本文的一个重要方面是处理了由于势函数 $V$ 产生的非恒定修正因子，这需要使用临界半径函数 $\rho(x)$ 和特定的反向赫尔德条件。这些结果为理解分数幂薛定谔算子在接近恒等算子（即阶数趋于零）时的行为提供了一个严谨的框架。本文并非提出新的实验应用，而是为这一特定算子理论背景下的渐近展开建立了理论基础。