On $m$-order logarithmic Schrödinger operator

Résumé Technique : Sur l'opérateur de Schrödinger logarithmique d'ordre $m$

Énoncé du Problème
Cet article étudie le logarithme d'ordre $m$ de l'opérateur de Schrödinger $L_V = -\Delta + V$ dans $\mathbb{R}^d$, où $V$ est un potentiel mesurable non négatif. Bien que le laplacien logarithmique $\log(-\Delta)$ et ses homologues d'ordre supérieur aient été étudiés de manière approfondie ces dernières années (par exemple, [5, 9]), l'extension de ces concepts au cadre de Schrödinger avec un potentiel $V$ présente des défis analytiques spécifiques. L'objectif principal est de définir les opérateurs $\log^m L_V$ pour $m \in \mathbb{N}$ et d'utiliser ces derniers pour dériver des développements asymptotiques (séries de Taylor) pour les puissances fractionnaires $L_V^s$ et $L_V^{-s}$ lorsque l'ordre $s \to 0^+$. L'étude se concentre sur l'établissement de ces développements dans les espaces $L^p(\mathbb{R}^d)$ et de manière ponctuelle pour des classes spécifiques de fonctions, en abordant le fait que le semi-groupe associé n'est pas markovien lorsque $V > 0$.

Méthodologie
Les auteurs emploient une approche de la théorie spectrale combinée à des estimations de noyaux de chaleur.

1. Définition Spectrale : L'opérateur $L_V$ est traité comme un opérateur auto-adjoint sur $L^2(\mathbb{R}^d)$ associé à une forme sesquilinéaire fermée. En utilisant la mesure spectrale $E_V$ supportée sur $[0, \infty)$, les puissances fractionnaires $L_V^s$ et les opérateurs logarithmiques $\log^m L_V$ sont définis via l'intégrale spectrale :
   $$\Phi(L_V)f = \int_0^\infty \Phi(\lambda) dE_V(\lambda)f.$$
2. Extension du Semi-groupe : La définition des opérateurs logarithmiques est étendue de $L^2(\mathbb{R}^d)$ à une classe plus large de fonctions lipschitziennes à l'aide du semi-groupe de la chaleur $\{T_t^V\}_{t>0}$ engendré par $L_V$. Les auteurs utilisent la représentation intégrale :
   $$L_V^s f = \frac{1}{\Gamma(-s)} \int_0^\infty \frac{T_t^V f - f}{t^{s+1}} dt,$$
   valable pour $s \in (0, 1)$ et des fonctions appropriées.
3. Conditions sur le Potentiel : L'analyse suppose $d \ge 3$ et que le potentiel $V$ satisfait une inégalité de Hölder inversée ($V \in RH_q$ avec $q > d/2$). Cette condition permet l'utilisation de la fonction de rayon critique $\rho(x)$ et d'estimations améliorées du noyau de chaleur (spécifiquement, des bornes impliquant $\rho(x)$ et le noyau de chaleur euclidien).
4. Analyse Asymptotique : Le cœur du travail technique implique l'analyse du comportement des quotients de différence $\frac{L_V^s f - f}{s}$ et de leurs dérivées d'ordre supérieur par rapport à $s$ lorsque $s \to 0^+$. Les auteurs décomposent les représentations intégrales en parties localisées et non localisées pour gérer la singularité en $t=0$ et le comportement à l'infini, en utilisant les propriétés de la fonction Gamma et de la fonction de rayon critique.

Contributions Clés et Résultats

• Définition des Opérateurs Logarithmiques d'Ordre Supérieur : L'article définit rigoureusement l'opérateur de Schrödinger logarithmique d'ordre $m$, $\log^m L_V$, via la mesure spectrale. Il étend en outre la définition de l'opérateur $\text{Log}^k L_V$ (agissant comme la limite ponctuelle des dérivées des puissances fractionnaires) aux fonctions appartenant à l'intersection des espaces lipschitiens locaux et des espaces $L^1$ pondérés.
• Développements Asymptotiques dans $L^2$ : Le Théorème 1.1 établit des développements de Taylor pour $L_V^s f$ et $L_V^{-s} f$ dans $L^2(\mathbb{R}^d)$ pour les fonctions appartenant au domaine des opérateurs logarithmiques. Plus précisément, pour $f \in D(\log^{m+1} L_V) \cap D(L_V^{s_0})$ :
  $$L_V^s f - \sum_{k=0}^m \frac{s^k}{k!} (\log^k L_V)f = o(s^m) \quad \text{lorsque } s \to 0^+.$$
  Un développement similaire est fourni pour les puissances négatives avec des signes alternés.
• Convergence dans $L^p$ et $L^\infty$ : Le Théorème 1.2 et le Théorème 1.3 étendent ces résultats à $L^p(\mathbb{R}^d)$ ($1 < p < \infty$) et à $L^\infty(K)$ pour les ensembles compacts $K$. Ces résultats s'appliquent aux fonctions de $C_c(\mathbb{R}^d) \cap \text{Lip}_{\text{loc,uni}}^\theta(\mathbb{R}^d)$ et $L^1 \cap L^\infty \cap \text{Lip}_{\text{loc,uni}}^\theta(\mathbb{R}^d)$. Les développements sont donnés par :
  $$\lim_{s \to 0^+} \frac{L_V^s f - f - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{s^k}{k!} (\text{Log}^k L_V)f}{s^n/n!} = (\text{Log}^n L_V)f.$$
• Représentation Ponctuelle : L'article fournit des représentations intégrales ponctuelles explicites pour les opérateurs $\text{Log}^k L_V$, généralisant la représentation connue pour $\log L_V$ trouvée dans [1]. Ces représentations impliquent des intégrales du noyau de chaleur $T_t^V(x, y)$ et de la fonction de rayon critique $\rho(x)$, soulignant que les termes de correction ne sont pas constants (contrairement au cas du Laplacien pur) en raison de la nature non markovienne du semi-groupe.
• Application aux Équations Fractionnaires : Le Corollaire 1.4 démontre que ces développements peuvent être utilisés pour décrire la solution $u_{f,s} = L_V^{-s} f$ de l'équation $L_V^s u = f$ avec des conditions aux limites nulles à l'infini, fournissant une série asymptotique en termes d'opérateurs logarithmiques lorsque $s \to 0$.

Signification et Revendications
Les auteurs affirment que ce travail généralise les résultats précédents sur le laplacien logarithmique (spécifiquement ceux de Chen [5] et Chen-Weth [9]) au cadre de l'opérateur de Schrödinger avec des potentiels non triviaux. Un aspect significatif de l'article est la gestion des facteurs de correction non constants découlant du potentiel $V$, ce qui nécessite l'utilisation de la fonction de rayon critique $\rho(x)$ et de conditions de Hölder inversées spécifiques. Les résultats fournissent un cadre rigoureux pour comprendre le comportement des puissances fractionnaires des opérateurs de Schrödinger près de l'identité (c'est-à-dire lorsque l'ordre approche zéro) à travers leurs dérivées logarithmiques. L'article ne propose pas de nouvelles applications expérimentales mais établit le fondement théorique des développements asymptotiques dans ce contexte spécifique de la théorie des opérateurs.