On $m$-order logarithmic Schrödinger operator

Resumen Técnico: Sobre el Operador de Schrödinger Logarítmico de orden $m$

Planteamiento del Problema
Este artículo investiga el logaritmo de orden $m$ del operador de Schrödinger $L_V = -\Delta + V$ en $\mathbb{R}^d$, donde $V$ es un potencial medible no negativo. Si bien el laplaciano logarítmico $\log(-\Delta)$ y sus contrapartes de orden superior han sido estudiados extensamente en años recientes (por ejemplo, [5, 9]), la extensión de estos conceptos al entorno de Schrödinger con un potencial $V$ presenta desafíos analíticos específicos. El objetivo principal es definir los operadores $\log^m L_V$ para $m \in \mathbb{N}$ y utilizarlos para derivar expansiones asintóticas (series de Taylor) para las potencias fraccionarias $L_V^s$ y $L_V^{-s}$ cuando el orden $s \to 0^+$. El estudio se centra en establecer estas expansiones en espacios $L^p(\mathbb{R}^d)$ y de forma puntual para clases específicas de funciones, abordando el hecho de que la semigrupo asociado no es markoviano cuando $V > 0$.

Metodología
Los autores emplean un enfoque de teoría espectral combinado con estimaciones del núcleo de calor.

1. Definición Espectral: El operador $L_V$ se trata como un operador autoadjunto en $L^2(\mathbb{R}^d)$ asociado con una forma sesquilineal cerrada. Utilizando la medida espectral $E_V$ soportada en $[0, \infty)$, las potencias fraccionarias $L_V^s$ y los operadores logarítmicos $\log^m L_V$ se definen mediante la integral espectral:
   $$\Phi(L_V)f = \int_0^\infty \Phi(\lambda) dE_V(\lambda)f.$$
2. Extensión del Semigrupo: La definición de los operadores logarítmicos se extiende de $L^2(\mathbb{R}^d)$ a una clase más amplia de funciones Lipschitz utilizando el semigrupo de calor $\{T_t^V\}_{t>0}$ generado por $L_V$. Los autores utilizan la representación integral:
   $$L_V^s f = \frac{1}{\Gamma(-s)} \int_0^\infty \frac{T_t^V f - f}{t^{s+1}} dt,$$
   válida para $s \in (0, 1)$ y funciones adecuadas.
3. Condiciones del Potencial: El análisis asume $d \ge 3$ y que el potencial $V$ satisface una desigualdad de Hölder inversa ($V \in RH_q$ con $q > d/2$). Esta condición permite el uso de la función de radio crítico $\rho(x)$ y estimaciones mejoradas del núcleo de calor (específicamente, cotas que involucran a $\rho(x)$ y el núcleo de calor euclídeo).
4. Análisis Asintótico: El núcleo del trabajo técnico implica analizar el comportamiento de los cocientes de diferencia $\frac{L_V^s f - f}{s}$ y sus derivadas de orden superior con respecto a $s$ cuando $s \to 0^+$. Los autores descomponen las representaciones integrales en partes localizadas y no localizadas para manejar la singularidad en $t=0$ y el comportamiento en el infinito, utilizando las propiedades de la función Gamma y la función de radio crítico.

Contribuciones Clave y Resultados

• Definición de Operadores Logarítmicos de Orden Superior: El artículo define rigurosamente el operador de Schrödinger logarítmico de orden $m$, $\log^m L_V$, mediante la medida espectral. Además, extiende la definición del operador $\text{Log}^k L_V$ (que actúa como el límite puntual de las derivadas de las potencias fraccionarias) a funciones en espacios Lipschitz locales intersectados con espacios $L^1$ ponderados.
• Expansiones Asintóticas en $L^2$: El Teorema 1.1 establece expansiones de Taylor para $L_V^s f$ y $L_V^{-s} f$ en $L^2(\mathbb{R}^d)$ para funciones en el dominio de los operadores logarítmicos. Específicamente, para $f \in D(\log^{m+1} L_V) \cap D(L_V^{s_0})$:
  $$L_V^s f - \sum_{k=0}^m \frac{s^k}{k!} (\log^k L_V)f = o(s^m) \quad \text{cuando } s \to 0^+.$$
  Se proporciona una expansión similar para potencias negativas con signos alternos.
• Convergencia en $L^p$ y $L^\infty$: El Teorema 1.2 y el Teorema 1.3 extienden estos resultados a $L^p(\mathbb{R}^d)$ ($1 < p < \infty$) y a $L^\infty(K)$ para conjuntos compactos $K$. Estos resultados se cumplen para funciones en $C_c(\mathbb{R}^d) \cap \text{Lip}_{\text{loc,uni}}^\theta(\mathbb{R}^d)$ y $L^1 \cap L^\infty \cap \text{Lip}_{\text{loc,uni}}^\theta(\mathbb{R}^d)$. Las expansiones están dadas por:
  $$\lim_{s \to 0^+} \frac{L_V^s f - f - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{s^k}{k!} (\text{Log}^k L_V)f}{s^n/n!} = (\text{Log}^n L_V)f.$$
• Representación Puntual: El artículo proporciona representaciones integrales puntuales explícitas para los operadores $\text{Log}^k L_V$, generalizando la representación conocida para $\log L_V$ en [1]. Estas representaciones involucran integrales del núcleo de calor $T_t^V(x, y)$ y la función de radio crítico $\rho(x)$, destacando que los términos de corrección no son constantes (a diferencia del caso del Laplaciano puro) debido a la naturaleza no markoviana del semigrupo.
• Aplicación a Ecuaciones Fraccionarias: El Corolario 1.4 demuestra que estas expansiones pueden utilizarse para describir la solución $u_{f,s} = L_V^{-s} f$ de la ecuación $L_V^s u = f$ con condiciones de contorno nulas en el infinito, proporcionando una serie asintótica en términos de los operadores logarítmicos cuando $s \to 0$.

Significancia y Reivindicaciones
Los autores afirman que este trabajo generaliza los resultados previos sobre el laplaciano logarítmico (específicamente aquellos de Chen [5] y Chen-Weth [9]) al entorno del operador de Schrödinger con potenciales no triviales. Un aspecto significativo del artículo es el manejo de los factores de corrección no constantes que surgen del potencial $V$, lo que requiere el uso de la función de radio crítico $\rho(x)$ y condiciones específicas de Hölder inversa. Los resultados proporcionan un marco riguroso para comprender el comportamiento de las potencias fraccionarias de los operadores de Schrödinger cerca de la identidad (es decir, cuando el orden se acerca a cero) a través de sus derivadas logarítmicas. El artículo no propone nuevas aplicaciones experimentales, sino que establece la base teórica para las expansiones asintóticas en este contexto específico de la teoría de operadores.