Quantitative homogenization of convex Hamilton-Jacobi equations in the Wasserstein space

Sintesi Tecnica: Omogeneizzazione Quantitativa di Equazioni di Hamilton–Jacobi Convesse nello Spazio di Wasserstein

Enunciato del Problema
Questo articolo investiga il comportamento asintotico e i tassi di convergenza quantitativa delle equazioni di Hamilton–Jacobi (HJ) del primo ordine poste nello spazio di Wasserstein delle misure di probabilità Borel con momenti di secondo ordine finiti, indicato con $P_2(\mathbb{R}^d)$. L'equazione principale studiata è:
$$\begin{cases} -\partial_t U^\varepsilon + \int_{\mathbb{R}^d} H\left(\frac{x}{\varepsilon}, x, D_m U^\varepsilon(t, m, x), m\right) m(dx) = 0, & (t, m) \in [0, T) \times P_2(\mathbb{R}^d), \\ U^\varepsilon(T, m) = G(m), & m \in P_2(\mathbb{R}^d), \end{cases}$$
dove $H$ è un Hamiltoniano convesso che presenta rapide oscillazioni spaziali alla scala $\varepsilon > 0$ tramite la variabile veloce $x/\varepsilon$. La soluzione $U^\varepsilon$ rappresenta la funzione valore di un problema di controllo a campo medio in cui una grande popolazione di agenti interagenti minimizza un funzionale di costo comune in un ambiente eterogeneo.

Gli autori affrontano due distinti setting basati sulla dipendenza del Hamiltoniano $H(y, x, p, m)$:

1. Setting non multiscala (Assunzione A1'): $H$ dipende solo dalla variabile veloce $y = x/\varepsilon$ e dal momento $p$, indipendentemente dalla variabile macroscopica $x$ e dalla misura $m$.
2. Setting multiscala (Assunzione A1): $H$ dipende dalla variabile veloce $y$, dalla variabile macroscopica $x$, dal momento $p$ e dalla misura $m$.

L'obiettivo è dimostrare che, per $\varepsilon \to 0$, $U^\varepsilon$ converge uniformemente a una soluzione limite $U$ che soddisfa un'equazione HJ omogeneizzata con un Hamiltoniano omogeneizzato $\bar{H}$, e stabilire tassi quantitativi netti per questa convergenza.

Metodologia
Gli autori impiegano una combinazione di teoria del controllo ottimo, tecniche di soluzioni viscoshe e metodi probabilistici adattati allo spazio di Wasserstein a dimensione infinita.

1. Rappresentazione del Controllo ed Equivalenza degli Insiemi di Controllo:
   Un ostacolo tecnico centrale è la mancanza di compattezza locale in $P_2(\mathbb{R}^d)$, che complica gli standard argomenti di raddoppio delle variabili utilizzati in dimensioni finite. Per aggirare ciò, gli autori stabiliscono innanzitutto che la funzione valore $U^\varepsilon$ rimane invariante sotto diverse classi di controlli ammissibili. Estendono l'insieme standard dei controlli progressivamente misurabili $\mathcal{A}$ a insiemi più ampi $\mathcal{A}_1$ (misurabili rispetto al tempo e alla filtrazione) e $\mathcal{A}_2$ (misurabili rispetto a una variabile aleatoria gaussiana indipendente). Ciò permette loro di riformulare il problema di controllo stocastico in un problema di trasporto ottimo deterministico riguardante cammini casuali $\gamma$ che connettono variabili casuali iniziali e terminali $X$ e $Y$.

2. Riduzione ai Funzionali di Costo:
   Sfruttando l'equivalenza degli insiemi di controllo, gli autori riscrivono la funzione valore $U^\varepsilon$ in termini di una funzione di costo corrente $h^\varepsilon$, che rappresenta l'azione minima richiesta per trasportare una particella da $x$ a $y$ su un intervallo di tempo con la Lagrangiana oscillatoria $L$. Specificamente, mostrano che:
   $$U^\varepsilon(t, m) = \inf_{\nu \in P_2} \left( \inf_{(X,Y) \in E_{m,\nu}} \mathbb{E}[h^\varepsilon(t, T, X, Y)] + G(\nu) \right).$$
   Questa riduzione consente l'applicazione di tecniche sviluppate per l'omogeneizzazione in dimensioni finite (specificamente quelle di Tran e Yu) all'ambito a dimensione infinita.

3. Subadditività e Superadditività:
   Per il caso non multiscala, il tasso di convergenza viene derivato utilizzando le proprietà di subadditività e superadditività della funzione di costo $h^\varepsilon$. Queste proprietà, ereditate dai risultati in dimensioni finite, garantiscono l'esistenza di un costo mediato $h$ e forniscono il limite di errore $O(\varepsilon)$.

4. Partizione Temporale per la Dipendenza Multiscala:
   Nel caso generale multiscala (dove $H$ dipende da $x$ e $m$), gli autori non possono applicare direttamente l'argomento $O(\varepsilon)$ a causa delle variabili lente. Invece, partizionano l'intervallo temporale $[t, T]$ in $N$ sottointervalli. Su ogni sottointervallo, "congelano" le variabili lente ($x$ e $m$) ai loro valori iniziali, riducendo localmente il problema al caso non multiscala. Successivamente, ottimizzano il numero di partizioni $N$ per bilanciare l'errore di omogeneizzazione ($O(\varepsilon)$) e l'errore di congelamento ($O(1/N)$), ottenendo un tasso di $O(\sqrt{\varepsilon})$.

5. Identificazione del Limite:
   Una volta stabilita la convergenza uniforme, gli autori utilizzano un metodo di funzione di test perturbata (raddoppio delle variabili) nello spazio di Hilbert elevato $L^2(\Omega; \mathbb{R}^d)$ per verificare che il limite $U$ sia l'unica soluzione $L$-viscosa dell'equazione effettiva. L'unicità delle soluzioni viscose nello spazio di Wasserstein (stabilita in letteratura precedente) assicura l'identificazione del limite.

Contributi Chiave e Risultati

• Tasso Ottimo nel Setting Non-Multiscala (Teorema 1.1): Sotto l'Assunzione (A1'), gli autori dimostrano che $U^\varepsilon$ converge uniformemente alla soluzione $U$ dell'equazione effettiva con un tasso $O(\varepsilon)$. Questo eguaglia il tasso ottimale noto per le equazioni HJ convesse in dimensioni finite che dipendono solo dalla variabile veloce e dal momento.
• Tasso Quantitativo nel Setting Multiscala (Teorema 1.2): Nel caso generale dell'Assunzione (A1), dove l'Hamiltoniano dipende dalle variabili macroscopiche e dalla misura, gli autori stabiliscono un tasso di convergenza di $O(\sqrt{\varepsilon})$. Questo estende i risultati di omogeneizzazione multiscala dalle dimensioni finite allo spazio di Wasserstein.
• Trasporto Ottimo Dinamico (Teorema 1.3): I risultati sono estesi ai problemi di trasporto ottimo dinamico dove la condizione terminale impone un vincolo sulla distribuzione finale (ovvero $G(m) = +\infty$ se $m \neq \nu$). Gli autori derivano i tassi di convergenza per il costo di trasporto $U^\varepsilon_{ot}$, mostrando $O(\varepsilon)$ nel caso semplificato e $O(\sqrt{\varepsilon})$ nel caso generale, con una dipendenza esplicita dalla distanza di Wasserstein tra le misure iniziale e target.
• Corollario sui Controlli Ristretti (Corollario 1.5): Il paper dimostra che, per misure iniziali non atomiche, la funzione valore rimane invariata anche se l'insieme dei controlli è ristretto a controlli misurabili rispetto alla $\sigma$-algebra dello stato iniziale. Questo recupera il tasso ottimale $O(\varepsilon)$ per la classica equazione HJ come caso speciale (quando la misura iniziale è una massa di Dirac).

Significato e Rivendicazioni
Gli autori affermano che questo lavoro fornisce i primi risultati di convergenza quantitativa per le equazioni di Hamilton–Jacobi nello spazio di Wasserstein. Sebbene l'omogeneizzazione qualitativa (convergenza senza tassi) per le equazioni HJ a dimensione infinita e il trasporto ottimo dinamico sia stata studiata precedentemente (ad esempio da Gangbo e Tudorascu), questo articolo stabilisce tassi netti.

Nello specifico, il paper asserisce che:

1. Estende il tasso di convergenza ottimale $O(\varepsilon)$ per le equazioni HJ convesse dalle dimensioni finite allo spazio di Wasserstein a dimensione infinita nel setting non multiscala.
2. Fornisce la prima analisi quantitativa per il setting multiscala nello spazio di Wasserstein, producendo un tasso di $O(\sqrt{\varepsilon})$.
3. La metodologia aggira con successo la mancanza di compattezza locale in $P_2(\mathbb{R}^d)$ utilizzando la randomizzazione del controllo e le formulazioni equivalenti, una tecnica che gli autori notano non poter essere applicata direttamente a problemi che coinvolgono rumore idiosincratico o comune.

Il paper conclude osservando che questi risultati colmano il divario tra la teoria dell'omogeneizzazione in dimensioni finite e i problemi di controllo a campo medio/trasporto ottimo in ambienti eterogenei, fornendo una base rigorosa per la dinamica effettiva di sistemi interagenti di grandi dimensioni.