Quantitative homogenization of convex Hamilton-Jacobi equations in the Wasserstein space

技術要約：ワッサースタイン空間における凸ハミルトン・ヤコビ方程式の定量的ホモジナイゼーション

問題設定
本論文は、有限の2次モーメントを持つボレル確率測度のワッサースタイン空間 $P_2(\mathbb{R}^d)$ 上に定義された、1次のハミルトン・ヤコビ（HJ）方程式の漸近挙動および定量的収束率を調査するものである。対象となる主要な方程式は以下の通りである：
$$\begin{cases} -\partial_t U^\varepsilon + \int_{\mathbb{R}^d} H\left(\frac{x}{\varepsilon}, x, D_m U^\varepsilon(t, m, x), m\right) m(dx) = 0, & (t, m) \in [0, T) \times P_2(\mathbb{R}^d), \\ U^\varepsilon(T, m) = G(m), & m \in P_2(\mathbb{R}^d), \end{cases}$$
ここで、$H$ は、高速変数 $x/\varepsilon$ を通じてスケール $\varepsilon > 0$ で急速な空間振動を示す凸ハミルトニアンである。解 $U^\varepsilon$ は、不均質な環境における大規模な相互作用エージェント群が共通のコスト関数を最小化する平均場制御問題の価値関数を表している。

著者らは、ハミルトニアン $H(y, x, p, m)$ の依存性に基づき、以下の2つの異なる設定を扱っている：

1. 非マルチスケール設定 (仮定 A1'): $H$ は高速変数 $y = x/\varepsilon$ と運動量 $p$ にのみ依存し、マクロ変数 $x$ および測度 $m$ には依存しない。
2. マルチスケール設定 (仮定 A1): $H$ は高速変数 $y$、マクロ変数 $x$、運動量 $p$、および測度 $m$ に依存する。

目標は、$\varepsilon \to 0$ のとき、$U^\varepsilon$ が有効なハミルトニアン $\bar{H}$ を持つ有効なHJ方程式に収束することを証明し、この収束に対する鋭い定量的レートを確立することである。

手法
著者らは、最適制御理論、粘性解の手法、および無限次元のワッサースタイン空間に特化した確率的手法を組み合わせて用いている。

1. 制御の表現と制御集合の同値性：
   中心的な技術的障壁は、$P_2(\mathbb{R}^d)$ における局所コンパクト性の欠如であり、これが有限次元で用いられる標準的な変数の二重化（doubling-of-variables）議論を困難にしている。これを回避するため、著者らはまず、価値関数 $U^\varepsilon$ が異なる許容制御クラスの下で不変であることを確立する。彼らは、標準的な進行可能制御の集合 $\mathcal{A}$ を、より大きな集合 $\mathcal{A}_1$（時間とフィルタリングに関して可測）および $\mathcal{A}_2$（独立なガウス乱数に関して可測）へと拡張する。これにより、確率的制御問題を、初期および終端のランダム変数 $X$ と $Y$ を結ぶランダムなパス $\gamma$ を含む決定論的な最適輸送問題へと再定式化することが可能になる。

2. コスト関数への還元：
   制御集合の同値性を利用することで、著者らは $U^\varepsilon$ を、振動するラグランジアン $L$ を伴う、粒子を $x$ から $y$ へ輸送するために必要な最小作用を表す実行コスト関数 $h^\varepsilon$ を用いて書き換える。具体的には、以下のように示す：
   $$U^\varepsilon(t, m) = \inf_{\nu \in P_2} \left( \inf_{(X,Y) \in E_{m,\nu}} \mathbb{E}[h^\varepsilon(t, T, X, Y)] + G(\nu) \right).$$
   この還元により、有限次元のホモジナイゼーション（特に Tran と Yu によるもの）で開発された手法を、無限次元の設定に適用することが可能となる。

3. 劣加法性と超加法性：
   非マルチスケールの場合、収束レートはコスト関数の劣加法性と超加法性を用いて導出される。これらの性質は有限次元の結果から継承されており、これによって平均化されたコスト $h$ の存在が保証され、$O(\varepsilon)$ の誤差境界が得られる。

4. マルチスケール依存性のための時間分割：
   （$H$ が $x$ および $m$ に依存する）一般的なマルチスケールの場合、スロー変数の存在により、直接的に $O(\varepsilon)$ の議論を適用することができない。代わりに、著者らは時間区間 $[t, T]$ を $N$ 個の小区間に分割する。各小区間において、スロー変数（$x$ および $m$）をその初期値で「凍結」させることで、問題を局所的に非マルチスケールのケースへと還元する。その後、ホモジナイゼーション誤差（$O(\varepsilon)$）と凍結誤差（$O(1/N)$）のバランスを取るように分割数 $N$ を最適化し、$O(\sqrt{\varepsilon})$ のレートを得る。

5. 極限の特定：
   一様収束が確立された後、著者らは持ち上げられたヒルベルト空間 $L^2(\Omega; \mathbb{R}^d)$ における摂動テスト関数法（変数の二重化）を用いて、極限 $U$ が有効な方程式の唯一の $L$-粘性解であることを検証する。ワッサースタイン空間における粘性解の一意性（先行研究で確立済み）により、極限の特定が保証される。

主な貢献と結果

• 非マルチスケール設定における最適レート (定理 1.1): 仮定 (A1') の下で、著者らは $U^\varepsilon$ が有効な方程式の解 $U$ に $O(\varepsilon)$ のレートで一様に収束することを証明する。これは、高速変数と運動量のみに依存する凸HJ方程式における有限次元の最適レートと一致する。
• マルチスケール設定における定量的レート (定理 1.2): マクロ変数と測度に依存する一般的な仮定 (A1) の下で、著者らは $O(\sqrt{\varepsilon})$ の収束レートを確立する。これは、マルチスケール・ホモジナイゼーションの結果をワッサースタイン空間へと拡張するものである。
• 動的最適輸送 (定理 1.3): 終端条件が最終分布に対して制約を課す場合（すなわち $G(m) = +\infty$ if $m \neq \nu$）、動的最適輸送問題へと結果を拡張する。著者らは、輸送コスト $U^\varepsilon_{ot}$ の収束レートを導出し、簡略化されたケースでは $O(\varepsilon)$、一般的なケースでは $O(\sqrt{\varepsilon})$ となることを示し、初期分布とターゲット分布のワッサースタイン距離への明示的な依存関係を示す。
• 制限された制御に関する系 (系 1.5): 非原子的な初期測量に対して、制御集合が初期状態の $\sigma$-代数に関して可測な制御に制限されても、価値関数は変化しないことを示している。これは、初期測量がディラック測量である場合の古典的なHJ方程式の有限次元最適レート $O(\varepsilon)$ を特殊なケースとして回収するものである。

意義と主張
著者らは、本研究がワッサースタイン空間におけるハミルトン・ヤコビ方程式の最初の定量的収束結果を提供するものであると主張している。無限次元のHJ方程式および動的最適輸送に関する定性的ホモジナイゼーション（レートを伴わない収束）は以前から研究されてきたが（例：Gangbo および Tudorascu）、本論文は鋭いレートを確立している。

具体的には、本論文は以下のことを主張している：

1. 非マルチスケール設定において、凸HJ方程式の最適な $O(\varepsilon)$ 収束レートを、有限次元から無限次元のワッサースタイン空間へと拡張した。
2. ワッサースタイン空間におけるマルチスケール設定に関する初の定量的分析を提供し、$O(\sqrt{\varepsilon})$ のレートを導出した。
3. 提案された手法は、制御のランダム化と等価な定式化を利用することで、ワッサースタイン空間における局所コンパクト性の欠如を回避しており、これは個別のノイズや共通ノイズを含む問題には直接適用できない手法であると著者らは指摘している。

結論として、本論文は、これらの結果が有限次元のホモジナイゼーション理論と、不均質な環境における平均場制御および最適輸送問題との間の溝を埋め、大規模な相互作用系の有効なダイナミクスに対する厳密な基礎を提供するものであると述べている。