Quantitative homogenization of convex Hamilton-Jacobi equations in the Wasserstein space

Resumen Técnico: Homogeneización Cuantitativa de Ecuaciones de Hamilton–Jacobi Convexas en el Espacio de Wasserstein

Planteamiento del Problema
Este artículo investiga el comportamiento asintótico y las tasas de convergencia cuantitativa de las ecuaciones de Hamilton–Jacobi (HJ) de primer orden planteadas en el espacio de Wasserstein de medidas de probabilidad de Borel con momentos finitos de segundo orden, denotado como $P_2(\mathbb{R}^d)$. La ecuación principal estudiada es:
$$\begin{cases} -\partial_t U^\varepsilon + \int_{\mathbb{R}^d} H\left(\frac{x}{\varepsilon}, x, D_m U^\varepsilon(t, m, x), m\right) m(dx) = 0, & (t, m) \in [0, T) \times P_2(\mathbb{R}^d), \\ U^\varepsilon(T, m) = G(m), & m \in P_2(\mathbb{R}^d), \end{cases}$$
donde $H$ es un Hamiltoniano convexo que exhibe oscilaciones espaciales rápidas a escala $\varepsilon > 0$ a través de la variable rápida $x/\varepsilon$. La solución $U^\varepsilon$ representa la función de valor de un problema de control de campo medio donde una gran población de agentes interactuantes minimiza un funcional de costo común en un entorno heterogéneo.

Los autores abordan dos entornos distintos basados en la dependencia del Hamiltoniano $H(y, x, p, m)$:

1. Entorno no multiescala (Supuesto A1'): $H$ depende únicamente de la variable rápida $y = x/\varepsilon$ y del momento $p$, siendo independiente de la variable macroscópica $x$ y de la medida $m$.
2. Entorno multiescala (Supuesto A1): $H$ depende de la variable rápida $y$, la variable macroscópica $x$, el momento $p$ y la medida $m$.

El objetivo es demostrar que, cuando $\varepsilon \to 0$, $U^\varepsilon$ converge uniformemente a un límite $U$ que satisface una ecuación HJ efectiva con un Hamiltoniano homogeneizado $\bar{H}$, y establecer tasas de convergencia cuantitativas precisas para dicha convergencia.

Metodología
Los autores emplean una combinación de teoría de control óptimo, técnicas de soluciones viscosas y métodos probabilísticos adaptados al espacio de Wasserstein de dimensión infinita.

1. Representación de Control y Equivalencia de Conjuntos de Control:
   Un obstáculo técnico central es la falta de compacidad local en $P_2(\mathbb{R}^d)$, lo que complica los argumentos estándar de duplicación de variables utilizados en dimensiones finitas. Para sortear esto, los autores primero establecen que la función de valor $U^\varepsilon$ permanece invariante bajo diferentes clases de controles admisibles. Extienden el conjunto estándar de controles progresivamente medibles $\mathcal{A}$ a conjuntos más amplios $\mathcal{A}_1$ (medibles con respecto al tiempo y la filtración) y $\mathcal{A}_2$ (medibles con respecto a una variable aleatoria gaussiana independiente). Esto les permite reformular el problema de control estocástico en un problema de transporte óptimo determinista que involucra trayectorias aleatorias $\gamma$ que conectan variables aleatorias iniciales y terminales $X$ e $Y$.

2. Reducción a Funciones de Costo:
   Al explotar la equivalencia de los conjuntos de control, los autores reescriben la función de valor $U^\varepsilon$ en términos de una función de costo corriente $h^\varepsilon$, que representa la acción mínima requerida para transportar una partícula de $x$ a $y$ durante un intervalo de tiempo con el Lagrangiano oscilatorio $L$. Específicamente, demuestran que:
   $$U^\varepsilon(t, m) = \inf_{\nu \in P_2} \left( \inf_{(X,Y) \in E_{m,\nu}} \mathbb{E}[h^\varepsilon(t, T, X, Y)] + G(\nu) \right).$$
   Esta reducción permite la aplicación de técnicas desarrolladas para la homogeneización en dimensiones finitas (específicamente aquellas de Tran y Yu) al entorno de dimensión infinita.

3. Subaditividad y Superaditividad:
   Para el caso no multiescala, la tasa de convergencia se deriva de las propiedades de subaditividad y superaditividad de la función de costo $h^\varepsilon$. Estas propiedades, heredadas de los resultados en dimensiones finitas, aseguran la existencia de un costo promediado $h$ y proporcionan el límite de error $O(\varepsilon)$.

4. Partición Temporal para la Dependencia Multiescala:
   En el caso general multiescala (donde $H$ depende de $x$ y $m$), los autores no pueden aplicar directamente el argumento $O(\varepsilon)$ debido a las variables lentas. En su lugar, particionan el intervalo de tiempo $[t, T]$ en $N$ subintervalos. En cada subintervalo, "congelan" las variables lentas ($x$ y $m$) en sus valores iniciales, reduciendo el problema localmente al caso no multiescala. Luego optimizan el número de particiones $N$ para equilibrar el error de homogeneización ($O(\varepsilon)$) y el error de congelación ($O(1/N)$), resultando en una tasa de $O(\sqrt{\varepsilon})$.

5. Identificación del Límite:
   Una vez establecida la convergencia uniforme, los autores utilizan un método de función de prueba perturbada (duplicación de variables) en el espacio de Hilbert elevado $L^2(\Omega; \mathbb{R}^d)$ para verificar que el límite $U$ es la solución viscosa única de la ecuación efectiva. La unicidad de las soluciones viscosas en el espacio de Wasserstein (establecida en literatura previa) asegura la identificación del límite.

Contribuciones Clave y Resultados

• Tasa Óptima en el Entorno No Multiescala (Teorema 1.1): Bajo el Supuesto (A1'), los autores demuestran que $U^\varepsilon$ converge uniformemente a la solución $U$ de la ecuación efectiva con una tasa de $O(\varepsilon)$. Esto coincide con la tasa óptima conocida para las ecuaciones HJ convexas en dimensiones finitas que dependen únicamente de la variable rápida y el momento.
• Tasa Cuantitativa en el Entorno Multiescala (Teorema 1.2): En el caso general del Supuesto (A1), donde el Hamiltoniano depende de las variables macroscópicas y la medida, los autores establecen una tasa de convergencia de $O(\sqrt{\varepsilon})$. Esto extiende los resultados de homogeneización multiescala de dimensiones finitas al espacio de Wasserstein.
• Transporte Óptimo Dinámico (Teorema 1.3): Los resultados se extienden a problemas de transporte óptimo dinámico donde la condición terminal impone una restricción sobre la distribución final (es decir, $G(m) = +\infty$ si $m \neq \nu$). Los autores derivan tasas de convergencia para el costo de transporte $U^\varepsilon_{ot}$, mostrando $O(\varepsilon)$ en el caso simplificado y $O(\sqrt{\varepsilon})$ en el caso general, con una dependencia explícita de la distancia de Wasserstein entre las medidas inicial y objetivo.
• Corolario sobre Controles Restringidos (Corolario 1.5): El artículo demuestra que, para medidas iniciales no atómicas, la función de valor permanece inalterada incluso si el conjunto de controles se restringe a controles medibles con respecto a la $\sigma$-álgebra del estado inicial. Esto recupera la tasa óptima $O(\varepsilon)$ para la ecuación HJ clásica (cuando la medida inicial es una masa de Dirac) como un caso especial.

Significancia y Reivindicaciones
Los autores afirman que este trabajo proporciona los primeros resultados de convergencia cuantitativa para las ecuaciones de Hamilton–Jacobi en el espacio de Wasserstein. Si bien la homogeneización cualitativa (convergencia sin tasas) para las ecuaciones HJ de dimensión infinita y el transporte óptimo dinámico ha sido estudiada previamente (por ejemplo, por Gangbo y Tudorascu), este artículo establece tasas precisas.

Específicamente, el artículo sostiene que:

1. Extiende la tasa de convergencia óptima $O(\varepsilon)$ para las ecuaciones HJ convexas de dimensiones finas al espacio de Wasserstein de dimensión infinita en el entorno no multiescala.
2. Proporciona el primer análisis cuantitativo para el entorno multiescala en el espacio de Wasserstein, arrojando una tasa de $O(\sqrt{\varepsilon})$.
3. La metodología logra sortear la falta de compacidad local en $P_2(\mathbb{R}^d)$ utilizando la aleatorización de controles y formulaciones equivalentes, una técnica que los autores señalan que no puede aplicarse directamente a problemas que involucren ruido idiosincrásico o común.

El artículo concluye señalando que estos resultados cierran la brecha entre la teoría de homogeneización en dimensiones finitas y los problemas de control de campo medio/transporte óptimo en entornos heterogéneos, proporcionando una base rigurosa para la dinámica efectiva de sistemas interactuantes de gran escala.