Quantitative homogenization of convex Hamilton-Jacobi equations in the Wasserstein space

技术摘要：Wasserstein 空间中凸 Hamilton–Jacobi 方程的定量同质化研究

问题陈述
本文研究了定义在具有有限二阶矩的 Borel 概率测度空间（记作 $P_2(\mathbb{R}^d)$）上的阶一 Hamilton–Jacobi (HJ) 方程的渐近行为与定量收敛速率。所研究的主要方程为：
$$\begin{cases} -\partial_t U^\varepsilon + \int_{\mathbb{R}^d} H\left(\frac{x}{\varepsilon}, x, D_m U^\varepsilon(t, m, x), m\right) m(dx) = 0, & (t, m) \in [0, T) \times P_2(\mathbb{R}^d), \\ U^\varepsilon(T, m) = G(m), & m \in P_2(\mathbb{R}^d), \end{cases}$$
其中 $H$ 是一个凸 Hamiltonian，通过快速变量 $x/\varepsilon$ 在尺度 $\varepsilon > 0$ 处表现出快速的空间振荡。解 $U^\varepsilon$ 代表了一个平均场控制问题的价值函数，在该问题中，大量相互作用的智能体在异质环境中最小化共同的成本泛函。

作者根据 Hamiltonian $H(y, x, p, m)$ 对变量的依赖关系，讨论了两种不同的设定：

1. 非多尺度设定 (假设 A1')： $H$ 仅依赖于快速变量 $y = x/\varepsilon$ 和动量 $p$，而与宏观变量 $x$ 及测度 $m$ 无关。
2. 多尺度设定 (假设 A1)： $H$ 依赖于快速变量 $y$、宏观变量 $x$、动量 $p$ 以及测度 $m$。

目标是证明当 $\varepsilon \to 0$ 时，$U^\varepsilon$ 一致收敛于满足有效 HJ 方程的极限 $U$，并建立该收敛过程的锐利定量速率。

方法论
作者结合了最优控制理论、粘性解技术以及针对无穷维 Wasserstein 空间的概率方法。

1. 控制表示与控制集的等价性：
   一个核心的技术障碍是 $P_2(\mathbb{R}^d)$ 缺乏局部紧致性，这使得在有限维中使用的标准变量加倍（doubling-of-variables）论证变得复杂。为了规避这一点，作者首先证明了价值函数 $U^\varepsilon$ 在不同类别的容许控制集下保持不变。他们将标准的渐进可测控制集 $\mathcal{A}$ 扩展到更大的集合 $\mathcal{A}_1$（关于时间及滤波是可测的）和 $\mathcal{A}_2$（关于独立的高斯随机变量是可测的）。这使得他们能够将随机控制问题重新表述为一个涉及连接初始和末端随机变量 $X$ 与 $Y$ 的随机路径 $\gamma$ 的确定性最优传输问题。

2. 向成本函数的归约：
   通过利用控制集的等价性，作者将价值函数 $U^\varepsilon$ 改写为关于运行成本函数 $h^\varepsilon$ 的形式，该函数代表了在振荡拉格朗日量 $L$ 下，粒子从 $x$ 传输到 $y$ 所需的最小作用量。具体而言，他们证明了：
   $$U^\varepsilon(t, m) = \inf_{\nu \in P_2} \left( \inf_{(X,Y) \in E_{m,\nu}} \mathbb{E}[h^\varepsilon(t, T, X, Y)] + G(\nu) \right).$$
   这种归约使得可以将针对有限维同质化（特别是 Tran 和 Yu 的研究）开发的技巧应用于无穷维设定。

3. 次可加性与超可加性：
   对于非多尺度情况，收敛速率是通过成本函数的次可加性和超可加性性质导出的。这些性质继承自有限维结果，确保了平均成本 $h$ 的存在，并提供了 $O(\varepsilon)$ 的误差界。

4. 针对多尺度依赖的时间划分：
   在一般的多尺度情况（即 $H$ 依赖于 $x$ 和 $m$）下，由于慢变量的存在，作者无法直接应用 $O(\varepsilon)$ 的论证。相反，他们将时间区间 $[t, T]$ 划分为 $N$ 个子区间。在每个子区间上，他们将慢变量（$x$ 和 $m$）“冻结”在初始值，从而将局部问题简化为非多尺度情况。随后，他们通过优化划分数量 $N$ 来平衡同质化误差（$O(\varepsilon)$）与冻结误差（$O(1/N)$），最终得到 $O(\sqrt{\varepsilon})$ 的速率。

5. 极限的识别：
   在建立一致收敛性后，作者利用提升后的希尔伯特空间 $L^2(\Omega; \mathbb{R}^d)$ 中的扰动测试函数法（变量加倍法）来验证极限 $U$ 是有效方程的唯一 $L$-粘性解。Wasserstein 空间中粘性解的唯一性（已在先前文献中建立）确保了对极限的识别。

主要贡献与结果

• 非多尺度设定下的最优速率 (定理 1.1)： 在假设 (A1') 下，作者证明了 $U^\varepsilon$ 一致收敛于有效方程的解 $U$，其收敛速率为 $O(\varepsilon)$。这与已知仅依赖于快速变量和动量的凸 HJ 方程的有限维最优速率相匹配。
• 多尺度设定下的定量速率 (定理 1.2)： 在一般的假设 (A1) 下（即 Hamiltonian 依赖于宏观变量和测度），作者建立了 $O(\sqrt{\varepsilon})$ 的收敛速率。这扩展了有限维中的多尺度同质化结果至 Wasserstein 空间。
• 动态最优传输 (定理 1.3)： 研究结果被扩展到了动态最优传输问题，其中终端条件对最终分布施加约束（即若 $m \neq \nu$，则 $G(m) = +\infty$）。作者推导了传输成本 $U^\varepsilon_{ot}$ 的收敛速率，显示在简化情况下为 $O(\varepsilon)$，在一般情况下为 $O(\sqrt{\varepsilon})$，并给出了对初始测度与目标测度之间 Wasserstein 距离的显式依赖关系。
• 关于受限控制的推论 (推论 1.5)： 本文表明，对于非原子初始测度，即使控制集被限制为关于初始状态 $\sigma$-代数可测的控制，价值函数也保持不变。这恢复了经典 HJ 方程（当初始测度为 Dirac 质量时）的有限维最优速率 $O(\varepsilon)$。

意义与主张
作者声称这项工作提供了 Wasserstein 空间中 Hamilton–Jacobi 方程的首次定量收敛结果。虽然无穷维 HJ 方程和动态最优传输的定性同质化（不带速率的收敛）此前已有研究（例如 Gangbo 和 Tudorascu 的工作），但本文确立了锐利的速率。

具体而言，本文断言：

1. 它将凸 HJ 方程的 $O(\varepsilon)$ 最优收敛速率从有限维扩展到了无穷维 Wasserstein 空间（在非多尺度设定下）。
2. 它提供了 Wasserstein 空间中多尺度设定的首次定量分析，得出了 $O(\sqrt{\varepsilon})$ 的速率。
3. 该方法通过利用控制随机化和等价表述，成功规避了 $P_2(\mathbb{R}^d)$ 缺乏局部紧致性的问题，作者指出这一技术无法直接应用于涉及特异噪声（idiosyncratic noise）或共同噪声的问题。

文章最后指出，这些结果弥合了有限维同质化理论与异质环境下的平均场控制/最优传输问题之间的鸿沟，为大规模相互作用系统的有效动力学提供了严谨的基础。