Homology fiber bundles of varieties, that are not topological fiber bundles

Sintesi Tecnica: Fibrati Omologici di Varietà che non sono Fibrati Topologici

Enunciato del Problema
Il saggio affronta una questione centrale nella teoria dell'equisingolarità riguardante la relazione tra le versioni algebrica, analitica e topologica dei fibrati. Nello specifico, investiga le condizioni sotto le quali un morfismo piatto e proiettivo $f: Y \to \Delta$ (dove $\Delta$ è un disco) che sia un fibrato omologico $\mathbb{Z}$ sia necessariamente un fibrato topologico.

Questa indagine perfeziona la Congettura 1 di [FdBK12], la quale ipotizzava l'equivalenza di tre condizioni per un morfismo proiettivo $f: Y \to \Delta$ da una varietà analitica complessa:

1. $f$ è regolare (e quindi un fibrato differenziabile).
2. $f$ è un fibrato di omotopia.
3. $f$ è un fibrato omologico $\mathbb{Z}$.

Sebbene le implicazioni (1) $\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (3) siano standard, e l'equivalenza valga per fibre con singolarità isolate o fibre semplicemente connesse (tramite il teorema di Whitehead), la congettura suggeriva che la (3) potesse implicare la (1) in generale. Lavori precedenti di Fernandez de Bobadilla [FdB05] e [FdBK12] hanno fornito esempi in cui la (2) è verificata ma la (1) fallisce, sebbene in tutti i casi noti lo spazio totale fosse singolare. [FdBK12] aveva congetturato che, se lo spazio totale è regolare, allora la (3) implica la (1).

Metodologia
Gli autori costruiscono controesempi all'implicazione (3) $\Rightarrow$ (1) creando morfismi piatti e proiettivi con spazi totali regolari che sono fibrati omologici $\mathbb{Z}$ ma non sono fibrati topologici (e non sono regolari).

La costruzione si basa su una tecnica di quoziente coinvolgendo una varietà abeliana e una varietà con singolarità isolate:

1. Configurazione: Sia $X \to \Delta$ un morfismo proiettivo con un numero finito di punti critici $p_i$ sopra l'origine. Sia $\gamma$ un automorfismo di $X$ di ordine finito $c$ che commuta con la proiezione e fissa i punti critici.
2. Costruzione del Quoziente: Sia $A$ una varietà abeliana e $\tau: A \to A$ una traslazione di ordine $c$. Gli autori definiscono lo spazio totale $Y$ come il quoziente $(A \times X) / (\tau, \gamma)$ sotto l'azione diagonale. La proiezione $\pi_Y: Y \to \Delta$ è il morfismo indotto.
3. Analisi Omologica: Il nucleo della dimostrazione utilizza la sequenza di Mayer-Vietoris e la successione spettrale di Leray. Gli autori analizzano la coomologia delle fibre decomponendo le stesse in regioni vicino alle singolarità (fibre di Milnor) e nel complemento regolare.
4. Lemma Chiave (Lemma 9): Gli autori dimostrano che la proiezione $(A \times M)/(\tau, \gamma) \to A/(\tau)$ induce un isomorfismo sulla coomologia se e solo se il polinomio caratteristico $\chi_T(x)$ dell'azione di monodromia $T$ sulla omologia della fibra di Milnor soddisfa $\chi_T(1) = \pm 1$.
5. Generazione di Esempi: Costruiscono specifiche famiglie $X \to \Delta$ (usando somme di potenze in spazi proiettivi pesati) dove la monodromia sulla fibra di Milnor soddisfa la condizione $\chi(1) = \pm 1$.

Risultati Chiave

• Teorema 3: Gli autori dimostrano che se il polinomio caratteristico dell'azione di monodromia sulla fibra di Milnor soddisfa $\chi(1) = \pm 1$, la risultante famiglia di quoziente $Y \to \Delta$ è un fibrato omologico $\mathbb{Z}$. Tuttavia, $Y \to \Delta$ non è né regolare né un fibrato topologico.
• Smentita della Congettura 1: Gli esempi costruiti dimostrano che uno spazio totale regolare $Y$ può ammettere una struttura di fibrato omologico $\mathbb{Z}$ senza essere un fibrato topologico. Ciò smentisce la congettura secondo cui la (3) implichi la (1) per spazi totali regolari.
• Proprietà delle Fibre: Negli esempi costruiti, le fibre $Y_t$ hanno un gruppo fondamentale $\mathbb{Z}_2^r$ (per $r \ge 1$). Di conseguenza, $Y \to \Delta$ non è mai un fibrato di omotopia, lasciando aperta la questione dell'equivalenza tra (1) e (2).
• Esempi Specifici:
  • Esempio 4: Una famiglia di superfici in cui la fibra speciale è un fibrato di curve cuspidali su un quoziente di curva ellittica (non normale), e le fibre generali sono superfici iperellittiche.
  • Esempio 14: Una famiglia di varietà tridimensionali con singolarità terminali derivate dalla singolarità $E_8$ ($x^2 + y^3 + z^5 = 0$), dove la monodromia di Milnor è la trasformazione di Coxeter del reticolo $E_8$.

Significato e Rivendicazioni
Il saggio sostiene di fornire i primi controesempi alla congettura secondo cui uno spazio totale regolare che è un fibrato omologico $\mathbb{Z}$ debba essere un fibrato topologico. Gli autori sottolineano che i loro esempi sono piatti, proiettivi e possiedono spazi totali regolari, pur non essendo fibrati topologici.

Gli autori notano alcune caratteristiche specifiche delle loro scoperte:

• La proprietà di essere un fibrato omologico $\mathbb{Z}$ non è stabile rispetto ai rivestimenti etali finiti; nella loro costruzione, il prodotto $A \times X$ non è un fibrato omologico $\mathbb{Z}$, ma il quoziente $Y$ lo è.
• Le fibre nei loro esempi non sono mai di tipo generale, poiché ammettono un rivestimento etale finito che è un prodotto con una varietà abeliana.
• La costruzione si basa sulla proprietà topologica per cui le varietà abeliane sono omeomorfe a un prodotto di cerchi ($S^1 \times N$).

Il lavoro lascia aperta la questione se (1) e (2) siano equivalenti (ovvero, se un morfismo regolare che è un fibrato di omotopia debba essere regolare), poiché i loro esempi non sono fibrati di omotopia. Gli autori suggeriscono che lavori futuri potrebbero esplorare esempi in cui la classe canonica delle fibre è ampiamente positiva (ample).