Homology fiber bundles of varieties, that are not topological fiber bundles

Resumen Técnico: Fibrados de Homología de Variedades que No son Fibrados Topológicos

Planteamiento del Problema
El artículo aborda una cuestión central en la teoría de la equisingularidad con respecto a la relación entre las versiones algebraica, analítica y topológica de los fibrados. Específicamente, investiga las condiciones bajo las cuales un morfismo plano y proyectivo $f: Y \to \Delta$ (donde $\Delta$ es un disco) que es un fibrado de homología $\mathbb{Z}$ es necesariamente un fibrado topológico.

Esta investigación refina la Conjetura 1 de [FdBK12], la cual postulaba la equivalencia de tres condiciones para un morfismo proyectivo $f: Y \to \Delta$ desde una variedad analítica compleja:

1. $f$ es suave (por lo tanto, un fibrado de fibras diferenciable).
2. $f$ es un fibrado de homotopía.
3. $f$ es un fibrado de homología $\mathbb{Z}$.

Si bien las implicaciones (1) $\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (3) son estándar, y la equivalencia se cumple para fibras con singularidades aisladas o fibras simplemente conexas (vía el teorema de Whitehead), la conjetura sugería que la (3) podría implicar la (1) en general. Trabajos previos de Fernández de Bobadilla [FdB05] y [FdBK12] proporcionaron ejemplos donde (2) se cumple pero (1) falla, aunque en todos los casos conocidos, el espacio total era singular. [FdBK12] conjeturó que si el espacio total es suave, entonces (3) implica (1).

Metodología
Los autores construyen contraejemplos a la implicación (3) $\Rightarrow$ (1) mediante la creación de morfismos planos y proyectivos con espacios totales suaves que son fibrados de homología $\mathbb{Z}$ pero fallan en ser fibrados topológicos (y no son suaves).

La construcción se basa en una técnica de cociente que involucra una variedad abeliana y una variedad con singularidades aisladas:

1. Configuración: Sea $X \to \Delta$ un morfismo proyectivo con un número finito de puntos críticos $p_i$ sobre el origen. Sea $\gamma$ un automorfismo de $X$ de orden finito $c$ que conmuta con la proyección y fija los puntos críticos.
2. Construcción del Cociente: Sea $A$ una variedad abeliana y $\tau: A \to A$ una traslación de orden $c$. Los autores definen el espacio total $Y$ como el cociente $(A \times X) / (\tau, \gamma)$ bajo la acción diagonal. La proyección $\pi_Y: Y \to \Delta$ es el morfismo inducido.
3. Análisis Homológico: El núcleo de la prueba utiliza la secuencia de Mayer-Vietoris y la secuencia espectral de Leray. Los autores analizan la cohomología de las fibras mediante la descomposición en regiones cercanas a las singularidades (fibras de Milnor) y el complemento suave.
4. Lema Clave (Lema 9): Los autores demuestran que la proyección $(A \times M)/\tau, \gamma) \to A/(\tau)$ induce un isomorfismo en la cohomología si y solo si el polinomio característico $\chi_T(x)$ de la acción de monodromía $T$ sobre la homología de la fibra de Milnor satisface $\chi_T(1) = \pm 1$.
5. Generación de Ejemplos: Construyen familias específicas $X \to \Delta$ (usando sumas de potencias en espacios proyectivos ponderados) donde la monodromía en la fibra de Milnor satisface la condición $\chi(1) = \pm 1$.

Resultados Clave

• Teorema 3: Los autores demuestran que si el polinomio característico de la acción de monodromía en la fibra de Milnor satisface $\chi(1) = \pm 1$, el cociente resultante $Y \to \Delta$ es un fibrado de homología $\mathbb{Z}$. Sin embargo, $Y \to \Delta$ no es suave ni un fibrado topológico.
• Refutación de la Conjetura 1: Los ejemplos construidos demuestran que un espacio total suave $Y$ puede admitir una estructura de fibrado de homología $\mathbb{Z}$ sin ser un fibrado topológico. Esto refuta la conjetura de que (3) implica (1) para espacios totales suaves.
• Propiedades de las Fibras: En los ejemplos construidos, las fibras $Y_t$ tienen un grupo fundamental $\mathbb{Z}_2^r$ (para $r \ge 1$). Consecuentemente, $Y \to \Delta$ nunca es un fibrado de homotopía, dejando la equivalencia de (1) y (2) como una cuestión abierta.
• Ejemplos Específicos:
  • Ejemplo 4: Una familia de superficies donde la fibra especial es un fibrado de curvas cúspideas sobre un cociente de curva elíptica (no normal), y las fibras generales son superficies hiperelípticas.
  • Ejemplo 14: Una familia de variedades tridimensionales con singularidades terminales derivadas de la singularidad $E_8$ ($x^2 + y^3 + z^5 = 0$), donde la monodromía de Milnor es la transformación de Coxeter de la red $E_8$.

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar los primeros contraejemplos a la conjetura de que un espacio total suave que es un fibrado de homología $\mathbb{Z}$ debe ser un fibrado topológico. Los autores enfatizan que sus ejemplos son planos, proyectivos y poseen espacios totales suaves, pero fallan en ser fibrados topológicos.

Los autores señalan varias características específicas de sus hallazgos:

• La propiedad de ser un fibrado de homología $\mathbb{Z}$ no es estable bajo recubrimientos étales finitos; en su construcción, el producto $A \times X$ no es un fibrado de homología $\mathbb{Z}$, pero el cociente $Y$ sí lo es.
• Las fibras en sus ejemplos nunca son de tipo general, ya que admiten un recubrimiento étale finito que es un producto con una variedad abeliana.
• La construcción se basa en la propiedad topológica de que las variedades abelianas son homeomorfas a un producto de círculos ($S^1 \times N$).

El trabajo deja abierta la cuestión de si (1) y (2) son equivalentes (es decir, si un morfismo suave que es un fibrado de homotopía debe ser suave), ya que sus ejemplos no son fibrados de homotopía. Los autores sugieren que trabajos futuros podrían explorar ejemplos donde la clase canónica de las fibras sea amplia.