Homology fiber bundles of varieties, that are not topological fiber bundles

Résumé Technique : Fibrés Homologiques de Variétés qui ne sont pas des Fibrés Topologiques

Énoncé du Problème
L'article traite d'une question centrale de la théorie de l'équisingularité concernant la relation entre les versions algébriques, analytiques et topologiques des fibrés. Plus précisément, il étudie les conditions sous lesquelles un morphisme plat et projectif $f: Y \to \Delta$ (où $\Delta$ est un disque) qui est un fibré de $\mathbb{Z}$-homologie est nécessairement un fibré topologique.

Cette enquête affine la Conjecture 1 de [FdBK12], qui postulait l'équivalence de trois conditions pour un morphisme projectif $f: Y \to \Delta$ issu d'une variété analytique complexe :

1. $f$ est lisse (donc un fibré différentiel).
2. $f$ est un fibré d'homotopie.
3. $f$ est un fibré de $\mathbb{Z}$-homologie.

Bien que les implications (1) $\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (3) soient standards, et que l'équivalence soit vérifiée pour des fibres possédant des singularités isolées ou des fibres simplement connexes (via le théorème de Whitehead), la conjecture suggérait que la condition (3) pourrait impliquer la (1) de manière générale. Des travaux antérieurs de Fernandez de Bobadilla [FdB05] et [FdBK12] ont fourni des exemples où (2) est vérifiée mais (1) échoue, bien que dans tous les cas connus, l'espace total soit singulier. [FdBK12] conjecturait que si l'espace total est lisse, alors (3) implique (1).

Méthodologie
Les auteurs construisent des contre-exemples à l'implication (3) $\Rightarrow$ (1) en créant des morphismes plats et projectifs avec des espaces totaux lisses qui sont des fibrés de $\mathbb{Z}$-homologie mais qui ne sont pas des fibrés topologiques (et ne sont pas lisses).

La construction repose sur une technique de quotient impliquant une variété abélienne et une variété à singularités isolées :

1. Configuration : Soit $X \to \Delta$ un morphisme projectif avec un nombre fini de points critiques $p_i$ sur l'origine. Soit $\gamma$ un automorphisme de $X$ d'ordre fini $c$ qui commute avec la projection et fixe les points critiques.
2. Construction par Quotient : Soit $A$ une variété abélienne et $\tau: A \to A$ une translation d'ordre $c$. Les auteurs définissent l'espace total $Y$ comme le quotient $(A \times X) / (\tau, \gamma)$ sous l'action diagonale. La projection $\pi_Y: Y \to \Delta$ est le morphisme induit.
3. Analyse Homologique : Le cœur de la preuve utilise la suite de Mayer-Vietoris et la suite spectrale de Leray. Les auteurs analysent la cohomologie des fibres en décomposant les régions proches des singularités (fibres de Milnor) et le complément lisse.
4. Lemme Clé (Lemme 9) : Les auteurs prouvent que la projection $(A \times M)/(\tau, \gamma) \to A/(\tau)$ induit un isomorphisme sur la cohomologie si et seulement si le polynôme caractéristique $\chi_T(x)$ de l'action de monodromie $T$ sur l'homologie de la fibre de Milnor satisfait $\chi_T(1) = \pm 1$.
5. Génération d'Exemples : Ils construisent des familles spécifiques $X \to \Delta$ (en utilisant des sommes de puissances dans des espaces projectifs pondérés) où la monodromie sur la fibre de Milnor satisfait la condition $\chi(1) = \pm 1$.

Résultats Clés

• Théorème 3 : Les auteurs prouvent que si le polynôme caractéristique de l'action de monodromie sur la fibre de Milnor satisfait $\chi(1) = \pm 1$, la famille quotient résultante $Y \to \Delta$ est un fibré de $\mathbb{Z}$-homologie. Cependant, $Y \to \Delta$ n'est ni lisse, ni un fibré topologique.
• Réfutation de la Conjecture 1 : Les exemples construits démontrent qu'un espace total $Y$ lisse peut admettre une structure de fibré de $\mathbb{Z}$-homologie sans être un fibré topologique. Cela infirme la conjecture selon laquelle (3) implique (1) pour les espaces totaux lisses.
• Propriétés des Fibres : Dans les exemples construits, les fibres $Y_t$ possèdent un groupe fondamental $\mathbb{Z}_2^r$ (pour $r \ge 1$). Par conséquent, $Y \to \Delta$ n'est jamais un fibré d'homotopie, laissant l'équivalence de (1) et (2) comme une question ouverte.
• Exemples Spécifiques :
  • Exemple 4 : Une famille de surfaces où la fibre spéciale est un fibré de courbes cuspides sur un quotient de courbe elliptique (non normale), et les fibres générales sont des surfaces hyperelliptiques.
  • Exemple 14 : Une famille de triècles présentant des singularités terminales dérivées de la singularité $E_8$ ($x^2 + y^3 + z^5 = 0$), où la monodromie de Milnor est la transformation de Coxeter du réseau $E_8$.

Signification et Revendications
L'article affirme fournir les premiers contre-exemples à la conjecture selon laquelle un espace total lisse qui est un fibré de $\mathbb{Z}$-homologie doit être un fibré topologique. Les auteurs soulignent que leurs exemples sont plats, projectifs et possèdent des espaces totaux lisses, tout en échouant à être des fibrés topologiques.

Les auteurs notent plusieurs caractéristiques spécifiques de leurs découvertes :

• La propriété d'être un fibré de $\mathbb{Z}$-homologie n'est pas stable sous les revêtements étales finis ; dans leur construction, le produit $A \times X$ n'est pas un fibré de $\mathbb{Z}$-homologie, mais le quotient $Y$ l'est.
• Les fibres de leurs exemples ne sont jamais de type général, car elles admettent un revêtement étale fini qui est un produit avec une variété abélienne.
• La construction repose sur la propriété topologique selon laquelle les variétés abéliennes sont homéomorphes à un produit de cercles ($S^1 \times N$).

Le travail laisse ouverte la question de savoir si (1) et (2) sont équivalents (c'est-à-dire si un morphisme lisse qui est un fibré d'homotopie doit être lisse), car leurs exemples ne sont pas des fibrés d'homotopie. Les auteurs suggèrent que des travaux futurs pourraient explorer des exemples où la classe canonique des fibres est ample.