Homology fiber bundles of varieties, that are not topological fiber bundles

Resumo Técnico: Fibrados de Homologia de Variedades que Não São Fibrados Topológicos

Enunciado do Problema
O artigo aborda uma questão central na teoria da equisingularidade referente à relação entre as versões algébrica, analítica e topológica de fibrados de fibras. Especificamente, investiga as condições sob as quais um morfismo projetivo plano $f: Y \to \Delta$ (onde $\Delta$ é um disco) que é um fibrado de homologia de $\mathbb{Z}$ é necessariamente um fibrado topológico.

Esta investigação refina a Conjectura 1 de [FdBK12], que postulava a equivalência de três condições para um morfismo projetivo $f: Y \to \Delta$ proveniente de uma variedade analítica complexa:

1. $f$ é suave (logo, um fibrado de fibras diferenciável).
2. $f$ é um fibrado de homotopia.
3. $f$ é um fibrado de homologia de $\mathbb{Z}$.

Embora as implicações (1) $\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (3) sejam padrão, e a equivalência ocorra para fibras com singularidades isoladas ou fibras simplesmente conexas (via teorema de Whitehead), a conjectura sugeria que (3) poderia implicar (1) em geral. Trabalhos anteriores de Fernandez de Bobadilla [FdB05] e [FdBK12] forneceram exemplos onde (2) ocorre, mas (1) falha, embora em todos os casos conhecidos o espaço total fosse singular. [FdBK12] conjecturou que, se o espaço total for suave, então (3) implica (1).

Metodologia
Os autores constroem contraexemplos para a implicação (3) $\Rightarrow$ (1) criando morfismos projetivos planos com espaços totais suaves que são fibrados de homologia de $\mathbb{Z}$, mas falham em ser fibrados topológicos (e não são suaves).

A construção baseia-se em uma técnica de quociente envolvendo uma variedade abeliana e uma variedade com singularidades isoladas:

1. Configuração: Seja $X \to \Delta$ um morfismo projetivo com finitos pontos críticos $p_i$ sobre a origem. Seja $\gamma$ um automorfismo de $X$ de ordem finita $c$ que comuta com a projeção e fixa os pontos críticos.
2. Construção de Quociente: Seja $A$ uma variedade abeliana e $\tau: A \to A$ uma translação de ordem $c$. Os autores definem o espaço total $Y$ como o quociente $(A \times X) / (\tau, \gamma)$ sob a ação diagonal. A projeção $\pi_Y: Y \to \Delta$ é o morfismo induzido.
3. Análise Homológica: O núcleo da prova utiliza a sequência de Mayer-Vietoris e a sequência espectral de Leray. Os autores analisam a cohomologia das fibras decompondo-as em regiões próximas às singularidades (fibras de Milnor) e o complemento suave.
4. Lema Chave (Lema 9): Os autores provam que a projeção $(A \times M)/(\tau, \gamma) \to A/(\tau)$ induz um isomorfismo na cohomologia se, e somente se, o polinômio característico $\chi_T(x)$ da ação de monodromia $T$ na homologia da fibra de Milnor $M$ satisfaz $\chi_T(1) = \pm 1$.
5. Geração de Exemplos: Eles constroem famílias específicas $X \to \Delta$ (usando somas de potências em espaços projetivos ponderados) onde a monodromia na fibra de Milnor satisfaz a condição $\chi(1) = \pm 1$.

Resultos Principais

• Teorema 3: Os autores provam que, se o polinômio característico da ação de monodromia na fibra de Milnor satisfaz $\chi(1) = \pm 1$, o quociente resultante $Y \to \Delta$ é um fibrado de homologia de $\mathbb{Z}$. No entanto, $Y \to \Delta$ não é suave nem um fibrado topológico.
• Refutação da Conjectura 1: Os exemplos construídos demonstram que um espaço total suave $Y$ pode admitir uma estrutura de fibrado de homologia de $\mathbb{Z}$ sem ser um fibrado topológico. Isso refuta a conjectura de que (3) implica (1) para espaços totais suaves.
• Propriedades das Fibras: Nos exemplos construídos, as fibras $Y_t$ possuem um grupo fundamental $\mathbb{Z}_2^r$ (para $r \ge 1$). Consequentemente, $Y \to \Delta$ nunca é um fibrado de homotopia, deixando a equivalência de (1) e (2) como uma questão aberta.
• Exemplos Específicos:
  • Exemplo 4: Uma família de superfícies onde a fibra especial é um fibrado de curva cuspídica sobre um quociente de curva elíptica (não normal), e as fibras gerais são superfícies hiperelípticas.
  • Exemplo 14: Uma família de trêsvariedades com singularidades terminais derivadas da singularidade $E_8$ ($x^2 + y^3 + z^5 = 0$), onde a monodromia de Milnor é a transformação de Coxeter do reticulado $E_8$.

Significância e Alegações
O artigo afirma fornecer os primeiros contraexemplos à conjectura de que um espaço total suave que é um fibrado de homologia de $\mathbb{Z}$ deve ser um fibrado topológico. Os autores enfatizam que seus exemplos são planos, projetivos e possuem espaços totais suaves, mas falham em ser fibrados topológicos.

Os autores observam algumas características específicas de suas descobertas:

• A propriedade de ser um fibrado de homologia de $\mathbb{Z}$ não é estável sob coberturas étale finitas; em sua construção, o produto $A \times X$ não é um fibrado de homologia de $\mathbb{Z}$, mas o quociente $Y$ é.
• As fibras em seus exemplos nunca são de tipo geral, pois admitem uma cobertura étale finita que é um produto com uma variedade abeliana.
• A construção baseia-se na propriedade topológica de que variedades abelianas são homeomorfas a um produto de círculos ($S^1 \times N$).

O trabalho deixa em aberto a questão de saber se (1) e (2) são equivalentes (ou seja, se um morfismo suave que é um fibrado de homotopia deve ser suave), já que seus exemplos falham em ser fibrados de homotopia. Os autores sugerem que trabalhos futuros poderiam explorar exemplos onde a classe canônica das fibras é ampla.