On odd perfect numbers with exactly one even exponent greater than 2

Sintesi Tecnica: Sui numeri perfetti dispari con esattamente un esponente pari maggiore di 2

Enunciato del Problema
Questo articolo investiga l'esistenza e le proprietà dei numeri perfetti dispari (OPN) "ristretti". Un OPN è un intero dispari $N$ che soddisfa $\sigma(N) = 2N$, dove $\sigma$ è la funzione somma dei divisori. Eulero ha stabilito che ogni OPN deve avere la forma $N = p^e m^2$, dove $p$ è un primo (il primo speciale) con $p \equiv e \equiv 1 \pmod 4$, e $p \nmid m$.

McDaniel ha precedentemente dimostrato che $m$ non può essere privo di quadrati (square-free), implicando che almeno un esponente pari nella fattorizzazione in primi di $N$ deve essere almeno 4. Gli autori definiscono un OPN come ristretto se possiede esattamente un tale esponente maggiore di 2. Sia $n^q$ la componente unica dove $n \neq p$ e $q \ge 4$; $n$ è definito il "primo notevole" e $q$ l' "esponente notevole". L'obiettivo primario è stabilire un limite inferiore per $q$ assumendo che esista un OPN ristretto.

Metodologia
Gli autori impiegano una combinazione di lemmi teorico-numerici, setacciamento computazionale e analisi dell'abbondanza per escludere specifiche configurazioni di fattori primi.

1. Lemmi Strutturali:

   • Vincoli Modulari: Il documento utilizza le proprietà dell'ordine moltiplicativo ($\text{ord}_s(n)$) e dei residui quadratici per vincolare i valori dei primi. Ad esempio, il Lemma 6 prova che il primo speciale $p$ deve soddisfare $p \equiv 1 \pmod 3$.
   • Regole di Divisibilità: I Lemmi 4 e 5 stabiliscono condizioni sotto le quali un primo $s$ divide $\sigma(n^q)$ o $\sigma(t^v)$ in base alla parità degli ordini e alla relazione tra primi distinti.
   • Esclusione di Soluzioni: Il Lemma 3 (derivato da Bennett e Levin) asserisce che $z^2 + z + 1 = r^t$ non ha soluzioni per primo $z, r$ e $t > 1$. Ciò è utilizzato per limitare il numero di primi $s$ tali che $\sigma(s^2)$ sia una potenza di un singolo primo.

2. Analisi dei Casi sul Primo 3:
   La dimostrazione del teorema principale è divisa in tre casi esaustivi riguardanti l'esponente del primo 3 in $N$:

   • Caso 1: 3 non è un fattore. Gli autori mostrano che se $3 \nmid N$, l'indice di abbondanza $\sigma(N)/N$ non può raggiungere 2. Ciò viene ottenuto limitando il contributo delle componenti "ordinarie" (primi con esponente 2) e delle componenti "sporadiche" utilizzando un approccio ad albero dei fattori e la verifica computazionale di piccoli primi.
   • Caso 2: 3 è ordinario ($3^2 \parallel N$). Utilizzando un albero dei fattori derivato dalla componente $3^2$, gli autori escludono sistematicamente i potenziali primi notevoli ($n$) da un insieme $S = \{7, 13, 19, 31, 61, 97, 127, 331\}$. Per ogni candidato $n$, dimostrano che la risultante configurazione di fattori primi richiesti porta a un'abbondanza strettamente minore di 2 o crea una contraddizione (ad esempio, richiedendo più di due copie di 3).
   • Caso 3: 3 è notevole ($3^q \parallel N$). Questo è l'unico caso rimanente potenzialmente vitale. Qui, l'attenzione si sposta sul derivare un limite inferiore per $q$.

3. Setacciamento Computazionale:
   Per gestire il caso in cui 3 sia notevole, gli autori utilizzano un programma C++/GMP (loopless.cpp) per setacciare i primi ordinari. L'algoritmo mantiene insiemi di primi che non possono essere ordinari ($M_1$) e primi congruenti a $1 \pmod 3$ che non possono dividere $N$ ($M_2$). Il programma itera attraverso i primi per calcolare il massimo contributo possibile di abbondanza dalle componenti ordinarie.

Risultati Chiave

• Teorema 1: Se $N$ è un numero perfetto dispari ristretto, allora il primo notevole $n$ deve essere 3, e l'esponente notevole $q$ soddisfa $q \ge 23.000.000.000$.
• Miglioramento dei Limiti: Questo risultato migliora significativamente il limite precedentemente noto di $q \ge 16$, che era stato derivato da una combinazione di precedenti vincoli modulari ($q \not\equiv 2 \pmod 3$, $q \neq 4, 6, 10, 12$).
• Riduzione a $n=3$: Il documento prova che se esiste un OPN ristretto, il primo notevole deve essere 3. Tutti gli altri candidati per il primo notevole sono eliminati tramite contraddizioni di abbondanza.
• Derivazione del Limite Inferiore: Dimostrando che l'abbondanza della componente speciale e della componente notevole ($3^q$), insieme al massimo contributo possibile dai primi ordinari (anche con oltre 46 miliardi di primi ordinari), non riesce a raggiungere 2 a meno che $q$ non sia estremamente grande, gli autori derivano il limite $q \ge 23.000.000.000$.

Significato e Rivendicazioni
Il documento sostiene di ridurre il problema dell'esistenza dei numeri perfetti dispari ristretti a un singolo caso specifico: il primo notevole è 3. Sebbene gli autori non pretendano di aver smentito l'esistenza degli OPN interamente, dimostrano che lo scenario "ristretto" è altamente vincolato.

Gli autori notano con modestia che il loro limite su $q$ può probabilmente essere migliorato di ordini di grandezza utilizzando argomenti di teoria del setaccio più avanzati. Tuttavia, sottolineano che escludere completamente il caso in cui 3 è notevole (e quindi provare che ogni OPN deve avere almeno due esponenti pari maggiori di 2) richiede "nuove idee".

Il documento conclude ponendo due domande aperte relative alla struttura di $\sigma(x^2)$ per il primo $x$:

1. Se esiste un primo $x$ tale che $x^2 + x + 1$ sia square-full (completamente quadrato).
2. Se esistono primi $x, y, p, r$ e interi $a > b > 0$ tali che $x^2 + x + 1 = p^a r$ e $y^2 + y + 1 = p^b r$.

Una risposta negativa a queste domande permetterebbe vincoli più stretti sulle possibili coppie di esponenti nella fattorizzazione degli OPN, portando potenzialmente a risultati di non esistenza più forti. Gli autori mettono a disposizione i propri programmi e dati per facilitare ulteriori ricerche in questa direzione.