On odd perfect numbers with exactly one even exponent greater than 2

Résumé Technique : Sur les nombres parfaits impairs possédant exactement un exposant pair supérieur à 2

Énoncé du problème
Cet article étudie l'existence et les propriétés des nombres parfaits impairs (NPI) « restreints ». Un NPI est un entier impair $N$ satisfaisant $\sigma(N) = 2N$, où $\sigma$ est la fonction somme des diviseurs. Euler a établi que tout NPI doit prendre la forme $N = p^e m^2$, où $p$ est un nombre premier (le nombre premier spécial) avec $p \equiv e \equiv 1 \pmod 4$, et $p \nmid m$.

McDaniel a précédemment démontré que $m$ ne peut pas être sans carré, impliquant qu'au moins un exposant pair dans la décomposition en facteurs premiers de $N$ doit être au moins égal à 4. Les auteurs définissent un NPI comme étant restreint s'il possède exactement un tel exposant supérieur à 2. Soit $n^q$ la composante unique où $n \neq p$ et $q \ge 4$ ; $n$ est appelé le « nombre premier notable » et $q$ l'« exposant notable ». L'objectif principal est d'établir une borne inférieure pour $q$ sous l'hypothèse qu'un NPI restreint existe.

Méthodologie
Les auteurs emploient une combinaison de lemmes de théorie des nombres, de criblage computationnel et d'analyse d'abondance pour exclure des configurations spécifiques de facteurs premiers.

1. Lemmes structurels :

   • Contraintes modulaires : Le papier utilise les propriétés de l'ordre multiplicatif ($\text{ord}_s(n)$) et des résidus quadratiques pour contraindre les valeurs des nombres premiers. Par exemple, le Lemme 6 prouve que le nombre premier spécial $p$ doit satisfaire $p \equiv 1 \pmod 3$.
   • Règles de divisibilité : Les Lemmes 4 et 5 établissent les conditions sous lesquelles un nombre premier $s$ divise $\sigma(n^q)$ ou $\sigma(t^v)$ en fonction de la parité des ordres et de la relation entre des nombres premiers distincts.
   • Exclusion de solutions : Le Lemme 3 (dérivé de Bennett et Levin) affirme que $z^2 + z + 1 = r^t$ n'a pas de solution pour un nombre premier $z, r$ et $t > 1$. Ceci est utilisé pour limiter le nombre de nombres premiers $s$ tels que $\sigma(s^2)$ est une puissance d'un seul nombre premier.

2. Analyse de cas sur le nombre premier 3 :
   La preuve du théorème principal est divisée en trois cas exhaustifs concernant l'exposant du nombre premier 3 dans $N$ :

   • Cas 1 : 3 n'est pas un facteur. Les auteurs montrent que si $3 \nmid N$, l'indice d'abondance $\sigma(N)/N$ ne peut atteindre 2. Ceci est réalisé en bornant la contribution des composantes « ordinaires » (nombres premiers avec exposant 2) et des composantes « sporadiques » en utilisant une approche par arbre de facteurs et une vérification computationnelle des petits nombres premiers.
   • Cas 2 : 3 est ordinaire ($3^2 \parallel N$). En utilisant un arbre de facteurs dérivé de la composante $3^2$, les auteurs éliminent systématiquement les potentiels nombres premiers notables ($n$) à partir d'un ensemble $S = \{7, 13, 19, 31, 61, 97, 127, 331\}$. Pour chaque candidat $n$, ils démontrent que la configuration de facteurs premiers requise mène soit à une abondance strictement inférieure à 2, soit crée une contradiction (par exemple, nécessitant plus de deux copies de 3).
   • Cas 3 : 3 est notable ($3^q \parallel N$). C'est le seul cas viable restant. Ici, l'accent est mis sur la dérivation d'une borne inférieure pour $q$.

3. Criblage computationnel :
   Pour traiter le cas où 3 est notable, les auteurs utilisent un programme C++/GMP (loopless.cpp) pour cribler les nombres premiers ordinaires. L'algorithme maintient des ensembles de nombres premiers qui ne peuvent pas être ordinaires ($M_1$) et de nombres premiers congrus à $1 \pmod 3$ qui ne peuvent pas diviser $N$ ($M_2$). Le programme itère à travers les nombres premiers pour calculer la contribution maximale d'abondance des composantes ordinaires.

Résultats clés

• Théorème 1 : Si $N$ est un nombre parfait impair restreint, alors le nombre premier notable $n$ doit être 3, et l'exposant notable $q$ satisfait $q \ge 23\,000\,000\,000$.
• Amélioration des bornes : Ce résultat améliore considérablement la borne précédemment connue de $q \ge 16$, qui était dérivée d'une combinaison de contraintes modulaires antérieures ($q \not\equiv 2 \pmod 3$, $q \neq 4, 6, 10, 12$).
• Réduction à $n=3$ : Le papier prouve que si un NPI restreint existe, le nombre premier notable doit être 3. Tous les autres candidats pour le nombre premier notable sont éliminés par des contradictions d'abondance.
• Dérivation de la borne inférieure : En montrant que l'abondance de la composante spéciale et de la composante notable ($3^q$), combinée à la contribution maximale possible des nombres premiers ordinaires (même avec plus de 46 milliards de nombres premiers ordinaires), ne parvient pas à atteindre 2 à moins que $q$ ne soit extrêmement grand, les auteurs dérivent la borne $q \ge 23\,000\,000\,000$.

Signification et affirmations
Le papier affirme réduire le problème de l'existence des nombres parfaits impairs restreints à un cas spécifique : le nombre premier notable est 3. Bien que les auteurs ne prétendent pas avoir réfuté l'existence des NPI dans leur globalité, ils démontrent que le scénario « restreint » est extrêmement contraint.

Les auteurs notent modestement que leur borne sur $q$ peut probablement être améliorée de plusieurs ordres de grandeur en utilisant des arguments de théorie de criblage plus avancés. Cependant, ils soulignent que l'élimination complète du cas où 3 est notable (et donc la preuve que tout NPI doit posséder au moins deux exposants pairs supérieurs à 2) nécessite de « nouvelles idées ».

L'article se conclut en posant deux questions ouvertes liées à la structure de $\sigma(x^2)$ pour un nombre premier $x$ :

1. Existe-t-il un nombre premier $x$ tel que $x^2 + x + 1$ soit « square-full » (puissant) ?
2. Existe-t-il des nombres premiers $x, y, p, r$ et des entiers $a > b > 0$ tels que $x^2 + x + 1 = p^a r$ et $y^2 + y + 1 = p^b r$ ?

Une réponse négative à ces questions permettrait d'obtenir des contraintes plus serrées sur les paires d'exposants possibles dans la décomposition des NPI, menant potentiellement à des résultats de non-existence plus forts. Les auteurs fournissent leurs programmes et leurs données pour faciliter la recherche ultérieure dans cette direction.