On odd perfect numbers with exactly one even exponent greater than 2

Resumen Técnico: Sobre los Números Perfectos Impares con Exactamente un Exponente Par Mayor que 2

Planteamiento del Problema
Este artículo investiga la existencia y las propiedades de los números perfectos impares (NPI) "restringidos". Un NPI es un entero impar $N$ que satisface $\sigma(N) = 2N$, donde $\sigma$ es la función suma de divisores. Euler estableció que cualquier NPI debe tener la forma $N = p^e m^2$, donde $p$ es un primo (el primo especial) con $p \equiv e \equiv 1 \pmod 4$, y $p \nmid m$.

McDaniel demostró previamente que $m$ no puede ser libre de cuadrados, lo que implica que al menos un exponente par en la factorización de primos de $N$ debe ser al menos 4. Los autores definen un NPI como restringido si posee exactamente un exponente de este tipo mayor que 2. Sea $n^q$ el componente único donde $n \neq p$ y $q \ge 4$; $n$ se denomina el "primo notable" y $q$ el "exponente notable". El objetivo principal es establecer un límite inferior para $q$ bajo la suposición de que existe un NPI restringido.

Metodología
Los autores emplean una combinación de lemas de teoría de números, cribado computacional y análisis de abundancia para descartar configuraciones específicas de factores primos.

1. Lemas Estructurales:

   • Restricciones Modulares: El artículo utiliza propiedades del orden multiplicativo ($\text{ord}_s(n)$) y de los residuos cuadráticos para restringir los valores de los primos. Por ejemplo, el Lemma 6 demuestra que el primo especial $p$ debe satisfacer $p \equiv 1 \pmod 3$.
   • Reglas de Divisibilidad: El Lemma 4 y el Lemma 5 establecen condiciones bajo las cuales un primo $s$ divide a $\sigma(n^q)$ o $\sigma(t^v)$ basándose en la paridad de los órdenes y la relación entre primos distintos.
   • Exclusión de Soluciones: El Lemma 3 (derivado de Bennett y Levin) afirma que $z^2 + z + 1 = r^t$ no tiene solución para primo $z, r$ y $t > 1$. Esto se utiliza para limitar el número de primos $s$ tales que $\sigma(s^2)$ es una potencia de un solo primo.

2. Análisis de Casos sobre el Primo 3:
   La demostración del teorema principal se divide en tres casos exhaustivos respecto al exponente del primo 3 en $N$:

   • Caso 1: 3 no es un factor. Los autores muestran que si $3 \nmid N$, el índice de abundancia $\sigma(N)/N$ no puede alcanzar 2. Esto se logra acotando la contribución de los componentes "ordinarios" (primos con exponente 2) y los componentes "esporádicos" utilizando un enfoque de árbol de factores y la verificación computacional de primos pequeños.
   • Caso 2: 3 es ordinario ($3^2 \parallel N$). Utilizando un árbol de factores derivado del componente $3^2$, los autores descartan sistemáticamente los posibles primos notables ($n$) de un conjunto $S = \{7, 13, 19, 31, 61, 97, 127, 331\}$. Para cada candidato $n$, demuestran que la configuración resultante de factores primos requeridos conduce a una abundancia estrictamente menor que 2 o crea una contradicción (por ejemplo, requiriendo más de dos copias de 3).
   • Caso 3: 3 es notable ($3^q \parallel N$). Este es el único caso viable restante. Aquí, el enfoque cambia hacia la derivación de un límite inferior para $q$.

3. Cribado Computacional:
   Para manejar el caso donde 3 es notable, los autores utilizan un programa en C++/GMP (loopless.cpp) para cribar primos ordinarios. El algoritmo mantiene conjuntos de primos que no pueden ser ordinarios ($M_1$) y primos congruentes a $1 \pmod 3$ que no pueden dividir a $N$ ($M_2$). El programa itera a través de los primos para calcular la contribución máxima posible de la abundancia de los componentes ordinarios.

Resultados Clave

• Teorema 1: Si $N$ es un número perfecto impar restringido, entonces el primo notable $n$ debe ser 3, y el exponente notable $q$ satisface $q \ge 23,000,000,000$.
• Mejora de los Límites: Este resultado mejora significativamente el límite previamente conocido de $q \ge 16$, el cual fue derivado de una combinación de restricciones modulares anteriores ($q \not\equiv 2 \pmod 3$, $q \neq 4, 6, 10, 12$).
• Reducción a $n=3$: El artículo demuestra que si existe un NPI restringido, el primo notable debe ser 3. Todos los demás candidatos para el primo notable son eliminados mediante contradicciones de abundancia.
• Derivación del Límite Inferior: Al demostrar que la abundancia del componente especial y del componente notable ($3^q$), combinada con la contribución máxima posible de los primos ordinarios (incluso con más de 46 mil millones de primos ordinarios), no logra alcanzar 2 a menos que $q$ sea extremadamente grande, los autores derivan el límite $q \ge 23,000,000,000$.

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma reducir el problema de la existencia de los números perfectos impares restringidos a un único caso específico: el primo notable es 3. Aunque los autores no pretenden haber refutado la existencia de los NPI en su totalidad, demuestran que el escenario "restringido" está altamente constreñido.

Los autores señalan modestamente que su límite para $q$ probablemente pueda mejorarse por órdenes de magnitud utilizando argumentos de teoría de cribado más avanzados. Sin embargo, enfatizan que descartar completamente el caso donde 3 es notable (y, por tanto, probar que todo NPI debe tener al menos dos exponentes pares mayores que 2) requiere "nuevas ideas".

El artículo concluye planteando dos preguntas abiertas relacionadas con la estructura de $\sigma(x^2)$ para el primo $x$:

1. Si existe un primo $x$ tal que $x^2 + x + 1$ sea un número con cuadrados plenos (square-full).
2. Si existen primos $x, y, p, r$ e enteros $a > b > 0$ tales que $x^2 + x + 1 = p^a r$ y $y^2 + y + 1 = p^b r$.

Una respuesta negativa a estas preguntas permitiría establecer restricciones más estrictas sobre los posibles pares de exponentes en la factorización de los NPI, potencialmente conduciendo a resultados de no existencia más fuertes. Los autores proporcionan sus programas y datos para facilitar la investigación adicional en esta dirección.