On odd perfect numbers with exactly one even exponent greater than 2

Technische Samenvatting: Over oneven perfecte getallen met exact één even exponent groter dan 2

Probleemstelling
Dit artikel onderzoekt de existentie en eigenschappen van "beperkte" (restrained) oneven perfecte getallen (OPN's). Een OPN is een oneven geheel getal $N$ dat voldoet aan $\sigma(N) = 2N$, waarbij $\sigma$ de som-van-deeltjesfunctie is. Euler stelde vast dat elke OPN de vorm moet hebben $N = p^e m^2$, waarbij $p$ een priemgetal is (het speciale priemgetal) met $p \equiv e \equiv 1 \pmod 4$, en $p \nmid m$.

McDaniel toonde eerder aan dat $m$ niet vrij vierkant kan zijn, wat impliceert dat ten minste één even exponent in de priemfactorisatie van $N$ minstens 4 moet zijn. De auteurs definiëren een OPN als beperkt als deze exact één dergelijke exponent bezit die groter is dan 2. Laat $n^q$ de unieke component zijn waarvoor $n \neq p$ en $q \ge 4$; $n$ wordt het "opvallende priemgetal" (notable prime) genoemd en $q$ de "opvallende exponent" (notable exponent). Het primaire doel is om een ondergrens voor $q$ vast te stellen onder de aanname dat een beperkte OPN bestaat.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van een combinatie van getaltheoretische lemma's, computationeel zeven (sieving) en abundantie-analyse om specifieke configuraties van priemfactoren uit te sluiten.

1. Structurele Lemma's:

   • Modulaire beperkingen: Het artikel maakt gebruik van eigenschappen van de multiplicatieve orde ($\text{ord}_s(n)$) en kwadratische residuen om de waarden van priemgetallen te beperken. Lemma 6 bewijst bijvoorbeeld dat het speciale priemgetal $p$ moet voldoen aan $p \equiv 1 \pmod 3$.
   • Deelbaarheidsregels: Lemma 4 en Lemma 5 stellen voorwaarden vast waaronder een priemgetal $s$ $\sigma(n^q)$ of $\sigma(t^v)$ deelt, gebaseerd op de pariteit van orden en de relatie tussen verschillende priemgetallen.
   • Uitsluiting van oplossingen: Lemma 3 (afgeleid van Bennett en Levin) stelt dat $z^2 + z + 1 = r^t$ geen oplossing heeft voor priemgetallen $z, r$ en $t > 1$. Dit wordt gebruikt om het aantal priemgetallen $s$ te beperken waarvoor $\sigma(s^2)$ een macht van een enkel priemgetal is.

2. Casusanalyse op het priemgetal 3:
   Het bewijs van het hoofddoel wordt verdeeld in drie uitputtende gevallen met betrekking tot de exponent van het priemgetal 3 in $N$:

   • Geval 1: 3 is geen factor. De auteurs tonen aan dat als $3 \nmid N$, de abundantie-index $\sigma(N)/N$ de waarde 2 niet kan bereiken. Dit wordt bereikt door de bijdrage van "gewone" componenten (priemgetallen met exponent 2) en "sporadische" componenten te begrenzen met behulp van een factorboom-benadering en computationele verificatie van kleine priemgetallen.
   • Geval 2: 3 is gewoon ($3^2 \parallel N$). Met behulp van een factorboom afgeleid van de component $3^2$, sluiten de auteurs systematisch potentiële opvallende priemgetallen ($n$) uit uit een verzameling $S = \{7, 13, 19, 31, 61, 97, 127, 331\}$. Voor elke kandidaat $n$ tonen zij aan dat de resulterende configuratie van vereiste priemfactoren leidt tot een abundantie die strikt kleiner is dan 2 of een tegenstrijdigheid creëert (bijvoorbeeld het vereisen van meer dan twee kopieën van 3).
   • Geval 3: 3 is opvallend ($3^q \parallel N$). Dit is de enige overgebleven levensvatbare casus. Hier verschuift de focus naar het afleiden van een ondergrens voor $q$.

3. Computationeel Zeven:
   Om de casus waarbij 3 opvallend is te behandelen, maken de auteurs gebruik van een C++/GMP-programma (loopless.cpp) om gewone priemgetallen te zeven. Het algoritme houdt verzamelingen bij van priemgetallen die niet gewoon kunnen zijn ($M_1$) en priemgetallen congruent aan $1 \pmod 3$ die $N$ niet kunnen delen ($M_2$). Het programma itereert door priemgetallen om de maximale mogelijke abundantiebijdrage van gewone componenten te berekenen.

Belangrijkste Resultaten

• Stelling 1: Als $N$ een beperkt oneven perfect getal is, dan moet het opvallende priemgetal $n$ gelijk zijn aan 3, en de opvallende exponent $q$ moet voldoen aan $q \ge 23.000.000.000$.
• Verbetering van de grenzen: Dit resultaat verbetert de eerder bekende ondergrens van $q \ge 16$, die werd afgeleid uit een combinatie van eerdere modulaire beperkingen ($q \not\equiv 2 \pmod 3$, $q \neq 4, 6, 10, 12$).
• Reductie tot $n=3$: Het artikel bewijst dat als een beperkte OPN bestaat, het opvallende priemgetal moet 3 zijn. Alle andere kandidaten voor het opvallende priemgetal worden geëlimineerd via abundantie-tegenstrijdigheden.
• Afleiding van de ondergrens: Door aan te tonen dat de abundantie van de speciale component en de opvallende component ($3^q$), samen met de maximale mogelijke bijdrage van gewone priemgetallen (zelfs met meer dan 46 miljard gewone priemgetallen), de waarde 2 niet bereikt tenzij $q$ extreem groot is, leiden de auteurs de grens $q \ge 23.000.000.000$ af.

Betekenis en Claims
Het artikel beweert het existentieprobleem van beperkte oneven perfecte getallen te hebben gereduceerd tot één specifieke casus: het opvallende priemgetal is 3. Hoewel de auteurs niet beweren het bestaan van OPN's volledig te hebben weerlegd, laten zij zien dat het "beperkte" scenario zeer strikt is.

De auteurs merken bescheiden op dat hun grens op $q$ waarschijnlijk met ordes van grootte verbeterd kan worden met behulp van meer geavanceerde zeeftheorie-argumenten. Zij benadrukken echter dat het volledig uitsluiten van de casus waarbij 3 opvallend is (en daarmee bewijzen dat elke OPN ten minste twee even exponenten groter dan 2 moet hebben) "nieuwe ideeën" vereist.

Het artikel concludeert door twee open vragen te stellen met betrekking tot de structuur van $\sigma(x^2)$ voor priemgetal $x$:

1. Of er een priemgetal $x$ bestaat zodanig dat $x^2 + x + 1$ square-full is.
2. Of er priemgetallen $x, y, p, r$ en gehele getallen $a > b > 0$ bestaan zodanig dat $x^2 + x + 1 = p^a r$ en $y^2 + y + 1 = p^b r$.

Een negatief antwoord op deze vragen zou striktere beperkingen mogelijk maken op de mogelijke paren exponenten in de factorisatie van OPN's, wat potentieel kan leiden tot sterkere non-existentie resultaten. De auteurs stellen hun programma's en gegevens beschikbaar om verdere research in deze richting te faciliteren.