Dynamical Quantum Phase Transitions in a Pseudo-Hermitian Hamiltonian: The Imbalanced-Pairing Kitaev Model

Sintesi Tecnica: Transizioni di Fase Quantistiche Dinamiche in un Hamiltoniano Pseudo-Hermitiano

Problematica
Sebbene gli Hamiltoniani con simmetria Parità-Tempo (PT) siano noti per possedere spettri energetici reali, essi rappresentano solo una sottoclasse della più ampia classe di Hamiltoniani pseudo-hermitiani, che garantiscono anch'essi spettri reali. Esiste un divario significativo nella comprensione della dinamica fuori equilibrio di questi sistemi pseudo-hermitiani, in particolare sotto protocolli di guida continua (ramp) piuttosto che sotto quench improvvisi. Nello specifico, il comportamento delle Transizioni di Fase Quantistiche Dinamiche (DQPT) — caratterizzate da non-analiticità nella densità di energia libera dinamica — rimane ampiamente inesplorato nei sistemi non-hermitiani che non conservano il numero di particelle. Questo articolo affronta la dinamica del modello di Kitaev con accoppiamento sbilanciato, un prototipo di sistema pseudo-hermitiano con simmetria di inversione temporale, sottoposto a un potenziale chimico linearmente dipendente dal tempo.

Metodologia
Gli autori utilizzano un formalismo biortogonale per analizzare la dinamica fuori equilibrio di un sistema integrabile che si decompone in Hamiltoniani indipendenti a due livelli per ogni modo di quantità di moto $k$.

• Formalismo Biortogonale: A differenza dei sistemi hermitiani, gli autostati di destra di un Hamiltoniano non-hermitiano non sono ortogonali. Lo studio utilizza una base biortogonale composta da autovettori di sinistra e di destra per definire un eco di Loschmidt biortogonale normalizzato ($L_k(t)$) e un corrispondente tasso di ritorno ($g(t)$).
• Protocollo di Ramp: Il sistema è inizializzato nello stato fondamentale di un Hamiltoniano con potenziale chimico $\mu_i$. Una rampa lineare, $\mu(t) = \mu_f + vt$, guida il sistema verso un valore finale $\mu_f$ con una velocità di scansione $v$.
• Soluzione Analitica: L'equazione di Schrödinger tempo-dipendente per ogni settore di quantità di moto viene risolta esattamente utilizzando il formalismo di Landau-Zener adattato ai sistemi non-hermitiani. Ciò fornisce espressioni esatte per le probabilità di eccitazione ($p_k$) e l'ampiezza di Loschmidt biortogonale.
• Caratterizzazione Topologica: Lo studio calcola l'Ordine Topologico Dinamico (DTOP), definito tramite la fase geometrica di Pancharatnam dell'ampiezza di Loschmidt biortogonale, per fornire un marcatore topologico delle transizioni.

Contributi Chiave e Risultati
L'articolo stabilisce le condizioni sotto le quali si verificano le DQPT nei sistemi pseudo-hermitiani e ne caratterizza la dipendenza dal parametro di non-hermiticità $\gamma$ e dalla velocità di scansione $v$.

1. Necessità di Spettri Reali: Gli autori dimostrano che le DQPT sotto un protocollo di rampa lineare avvengono solo quando l'Hamiltoniano post-rampa possiede uno spettro energetico reale. Se il sistema entra in un regime con autovalori complessi (rottura della simmetria di inversione temporale), le DQPT sono soppresse.
2. Ramp con Singolo Punto Critico ($\gamma > 0$):
   • Per rampe che attraversano un singolo punto critico quantistico (dove il gap si chiude a $k=\pi$), esiste sempre un unico momento critico $k^*$ che soddisfa $p_{k^*} = 1/2$.
   • Ciò risulta in una singola famiglia di tempi critici ($t^*_n$) e in una sequenza di DQPT.
   • Il parametro di non-hermiticità $\gamma$ sposta continuamente la posizione di $k^*$ ma non sopprime le DQPT né genera ulteriori modi critici, a condizione che $\gamma > 0$.
3. Ramp con Due Punti Critici/Eccezionali:
   • Quando la rampa attraversa due punti critici (per $\gamma > 0$) o due punti eccezionali (per $\gamma < 0$), la dinamica è governata dai modi di chiusura del gap a $k=0$ e $k=\pi$, dove $p_k=1$.
   • Le DQPT avvengono solo se la probabilità minima di eccitazione (vicino a $k=\pi/2$) scende al di sotto di $1/2$. Questa condizione è soddisfatta solo per velocità di scansione $v$ al di sotto di una soglia critica $v_c$.
   • La velocità critica $v_c$ è derivata analiticamente come $v_c = \frac{\pi \gamma \Delta^2}{\ln(1+\gamma)}$.
   • Al diminuire del parametro di non-hermiticità $\gamma$ verso il limite di accoppiamento alternato ($\gamma = -1$), $v_c$ diminuisce e infine svanisce. Per $\gamma < -1$, le DQPT sono completamente soppresse per qualsiasi velocità di scansione.
4. Segnature Topologiche:
   • Nel caso del singolo punto critico, il DTOP mostra salti (o cali) successivi di un'unità, indicando un singolo modo critico.
   • Nel caso dei due punti critici, il DTOP mostra salti e cali alternati, riflettendo la presenza di due momenti critici con pendenze opposte nella probabilità di eccitazione.
   • Gli autori notano che i tempi critici estratti dal tasso di ritorno biortogonale avvengono sistematicamente prima di quelli derivati dalle definizioni convenzionali (hermitiane coniugate).

Significatività
L'articolo sostiene di fornire un quadro analitico generale per descrivere le DQPT in superconduttori non-hermitiani con interazioni che non conservano il numero di particelle. Mappando il problema su un problema di Landau-Zener non-hermitiano efficace, gli autori stabiliscono una connessione diretta tra la pseudo-hermiticità, la fisica dei punti eccezionali e le transizioni di fase quantistiche dinamiche sotto guida continua. I risultati evidenziano come, sebbene il comportamento qualitativo delle DQPT nel regime di invarianza temporale ($\gamma > 0$) sia simile al caso hermitiano, il parametro di non-hermiticità controlli criticamente l'esistenza di tali transizioni in regimi che coinvolgono molteplici punti critici. Il quadro analitico sviluppato è presentato come applicabile ad altri sistemi integrabili non-hermitiani, offrendo una piattaforma per esplorare la topologia fuori equilibrio in sistemi quantistici ingegnerizzati.