Dynamical Quantum Phase Transitions in a Pseudo-Hermitian Hamiltonian: The Imbalanced-Pairing Kitaev Model

Resumen Técnico: Transiciones de Fase Cuánticas Dinámicas en un Hamiltoniano Pseudo-Hermítico

Planteamiento del Problema
Si bien se sabe que los Hamiltonianos con simetría Paridad-Tiempo (PT) poseen espectros de energía reales, estos representan solo una subclase de la clase más amplia de Hamiltonianos pseudo-hermíticos, que también garantizan espectros reales. Existe una brecha significativa en la comprensión de la dinámica fuera del equilibrio de estos sistemas pseudo-hermíticos, particularmente bajo protocolos de conducción continua (rampas) en lugar de quenches súbitos. Específicamente, el comportamiento de las Transiciones de Fase Cuánticas Dinámicas (DQPTs) —caracterizadas por no-analyticidades en la densidad de energía libre dinámica— permanece mayormente inexplorado en sistemas no hermíticos que no conservan el número de partículas. Este artículo aborda la dinámica del modelo de Kitaev de apareamiento desbalanceado, un sistema pseudo-hermítico prototípico con simetría de inversión temporal, sometido a un potencial químico que depende linealmente del tiempo.

Metodología
Los autores emplean un marco biorthogonal para analizar la dinámica fuera del equilibrio de un sistema integrable que se descompone en Hamiltonianos de dos niveles independientes para cada modo de momento $k$.

• Formalismo Biorthogonal: A diferencia de los sistemas hermíticos, los autoestados de la derecha de un Hamiltoniano no hermítico no son ortogonales. El estudio utiliza una base biorthogonal compuesta por autoestados de la izquierda y de la derecha para definir un eco de Loschmidt biorthogonal normalizado ($L_k(t)$) y una tasa de retorno correspondiente ($g(t)$).
• Protocolo de Rampa: El sistema se inicializa en el estado fundamental de un Hamiltoniano con un potencial químico $\mu_i$. Una rampa lineal, $\mu(t) = \mu_f + vt$, conduce el sistema hacia un valor final $\mu_f$ con una velocidad de barrido $v$.
• Solución Analítica: La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para cada sector de momento se resuelve exactamente utilizando el formalismo de Landau-Zener adaptado para sistemas no hermíticos. Esto produce expresiones exactas para las probabilidades de excitación ($p_k$) y la amplitud de Loschmidt biorthogonal.
• Caracterización Topológica: El estudio calcula el Ordenador de Fase Topológica Dinámica (DTOP), definido mediante la fase geométrica de Pancharatnam de la amplitud de Loschmidt biorthogonal, para proporcionar un marcador topológico de las transiciones.

Contribuciones Clave y Resultados
El artículo establece las condiciones bajo las cuales ocurren las DQPTs en sistemas pseudo-hermíticos y caracteriza su dependencia del parámetro de no-hermiticidad $\gamma$ y la velocidad de barrido $v$.

1. Necesidad de Espectros Reales: Los autores demuestran que las DQPTs bajo un protocolo de rampa lineal ocurren solo cuando el Hamiltoniano post-rampa posee un espectro de energía real. Si el sistema entra en un régimen con autovalores complejos (simetría de inversión temporal rota), las DQPTs se suprimen.
2. Rampas de Punto Crítico Único ($\gamma > 0$):
   • Para rampas que cruzan un único punto crítico cuántico (donde la brecha se cierra en $k=\pi$), siempre existe un momento crítico único $k^*$ que satisface $p_{k^*} = 1/2$.
   • Esto resulta en una única familia de tiempos críticos ($t^*_n$) y una secuencia de DQPTs.
   • El parámetro de no-hermiticidad $\gamma$ desplaza continuamente la ubicación de $k^*$, pero no suprime las DQPTs ni genera modos críticos adicionales, siempre que $\gamma > 0$.
3. Rampas de Dos Puntos Críticos/Puntos Excepcionales:
   • Cuando la rampa cruza dos puntos críticos (para $\gamma > 0$) o dos puntos excepcionales (para $\gamma < 0$), la dinámica está gobernada por los modos de cierre de brecha en $k=0$ y $k=\pi$, donde $p_k=1$.
   • Las DQPTs ocurren solo si la probabilidad de excitación mínima (cerca de $k=\pi/2$) cae por debajo de $1/2$. Esta condición se cumple solo para velocidades de barrido $v$ por debajo de un umbral crítico $v_c$.
   • La velocidad crítica $v_c$ se deriva analíticamente como $v_c = \frac{\pi \gamma \Delta^2}{\ln(1+\gamma)}$.
   • A medida que el parámetro de no-hermiticidad $\gamma$ disminuye hacia el límite de apareamiento escalonado ($\gamma = -1$), $v_c$ disminuye y eventualmente desaparece. Para $\gamma < -1$, las DQPTs se suprimen completamente para cualquier velocidad de barrido.
4. Firmas Topológicas:
   • En el caso de punto crítico único, el DTOP exhibe saltos sucesivos (o caídas) de una unidad, indicando un único modo crítico.
   • En el caso de dos puntos críticos, el DTOP muestra saltos y caídas alternados, reflejando la presencia de dos momentos críticos con pendientes opuestas en la probabilidad de excitación.
   • Los autores señalan que los tiempos críticos extraídos de la tasa de retorno biorthogonal ocurren sistemáticamente antes que aquellos derivados de las definiciones convencionales (hermíticas conjugadas).

Significancia
El artículo afirma proporcionar un marco analítico general para describir las DQPTs en superconductores no hermíticos con interacciones que no conservan el número de partículas. Al mapear el problema a un problema de Landau-Zener no hermítico efectivo, los autores establecen una conexión directa entre la pseudo-hermiticidad, la física de los puntos excepcionales y las transiciones de fase cuánticas dinámicas bajo conducción continua. Los resultados resaltan que, si bien el comportamiento cualitativo de las DQPTs en el régimen de simetría de inversión temporal ($\gamma > 0$) se asemeja al caso hermítico, el parámetro de no-hermiticidad controla críticamente la existencia de estas transiciones en regímenes que involucran múltiples puntos críticos. El marco analítico desarrollado se presenta como aplicable a otros sistemas no hermíticos integrables, ofreciendo una plataforma para explorar la topología fuera del equilibrio en sistemas cuánticos diseñados.