Dynamical Quantum Phase Transitions in a Pseudo-Hermitian Hamiltonian: The Imbalanced-Pairing Kitaev Model

Technische Samenvatting: Dynamische Kwantumfaseovergangen in een Pseudo-Hermitisch Hamiltoniaan

Probleemstelling
Hoewel Pariteit-Tijd (PT) symmetrische Hamiltonia factoren bekend staan om het bezitten van reële energiespectra, vertegenwoordigen zij slechts een subklasse van de bredere klasse van pseudo-Hermitische Hamiltonia, die eveneens reële spectra garanderen. Er bestaat een aanzienlijke kloof in het begrip van de niet-evenwichtsdynamica van deze pseudo-Hermitische systemen, met name onder continue drijvende protocollen (ramps) in plaats van plotselinge quenches. Specifiek blijft het gedrag van Dynamische Kwantumfaseovergangen (DQPT's)—gekarakteriseerd door niet-analytischeiteiten in de dynamische vrije-energie-dichtheid—grotendeels onverkend in niet-Hermitische systemen die geen deeltjesaantal behouden. Dit artikel behandelt de dynamica van de ongebalanceerde paren-Kitaev-model, een prototypisch pseudo-Hermitisch systeem met tijdsomkeersymmetrie, onderworpen aan een lineair tijdsafhankelijke chemische potentiaal.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van een biorthogonaal raamwerk om de niet-evenwichtsdynamica van een integreerbaar systeem te analyseren dat uiteenvalt in onafhankelijke twee-niveau Hamiltonia voor elk momentummodus $k$.

• Biorthogonaal Formalisme: In tegenstelling tot Hermitische systemen zijn de rechter-eigentoestanden van de niet-Hermitische Hamiltoniaan niet orthogonaal. De studie maakt gebruik van een biorthogonale basis bestaande uit linker- en rechter-eigenvectoren om een genormaliseerde biorthogonale Loschmidt-echo ($L_k(t)$) en een bijbehorende return rate ($g(t)$) te definiëren.
• Ramp Protocol: Het systeem wordt geïnitialiseerd in de grondtoestand van een Hamiltoniaan met een chemische potentiaal $\mu_i$. Een lineaire ramp, $\mu(t) = \mu_f + vt$, drijft het systeem naar een finale waarde $\mu_f$ met een sweep-snelheid $v$.
• Analytische Oplossing: De tijdsafhankelijke Schrödinger-vergelijking voor elke momentumsector wordt exact opgelost met behulp van het Landau-Zener-formalisme aangepast voor niet-Hermitische systemen. Dit levert exacte expressies op voor de excitatie-kansen ($p_k$) en de biorthogonale Loschmidt-amplitude.
• Topologische Karakterisering: De studie berekent de Dynamische Topologische Ordeparameter (DTOP), gedefinieerd via de Pancharatnam geometrische fase van de biorthogonale Loschmidt-amplitude, om een topologische marker voor de overgangen te bieden.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten
Het artikel stelt de voorwaarden vast waaronder DQPT's optreden in pseudo-Hermitische systemen en karakteriseert hun afhankelijkheid van de niet-Hermitische parameter $\gamma$ en de sweep-snelheid $v$.

1. Noodzaak van Reële Spectra: De auteurs demonstreren dat DQPT's onder een lineair ramp-protocol alleen optreden wanneer de post-ramp Hamiltoniaan een reëel energiespectrum bezit. Indien het systeem een regime betreedt met complexe eigenwaarden (gebroken tijdsomkeersymmetrie), worden DQPT's onderdrukt.
2. Single Critical Point Ramps ($\gamma > 0$):
   • Voor ramps die een enkel kwantumkritisch punt kruisen (waar de gap sluit bij $k=\pi$), bestaat er altijd een unieke kritische momentum $k^*$ die voldoet aan $p_{k^*} = 1/2$.
   • Dit resulteert in een enkele familie van kritische tijden ($t^*_n$) en een sequentie van DQPT's.
   • De niet-Hermitische parameter $\gamma$ verschuift de locatie van $k^*$ continu, maar onderdrukt de DQPT's of genereert geen extra kritische modi, mits $\gamma > 0$.
3. Two Critical/Exceptional Point Ramps:
   • Wanneer de ramp twee kritische punten (voor $\gamma > 0$) of twee exceptional points (voor $\gamma < 0$) kruist, wordt de dynamica beheerst door de gap-sluitende modi bij $k=0$ en $k=\pi$, waar $p_k=1$.
   • DQPT's treden alleen op als de minimale excitatiekans (nabij $k=\pi/2$) onder de $1/2$ valt. Deze conditie wordt alleen vervuld voor sweep-snelheden $v$ onder een kritische drempel $v_c$.
   • De kritische snelheid $v_c$ wordt analytisch afgeleid als $v_c = \frac{\pi \gamma \Delta^2}{\ln(1+\gamma)}$.
   • Naarmate de niet-Hermitische parameter $\gamma$ afneemt richting de gestageerde-pairing limiet ($\gamma = -1$), neemt $v_c$ af en verdwijnt uiteindelijk volledig. Voor $\gamma < -1$ worden DQPT's volledig onderdrukt voor elke sweep-snelheid.
4. Topologische Signaturen:
   • In het geval van een enkel kritisch punt vertoont de DTOP opeenvolgende sprongen (of dalingen) van één eenheid, wat wijst op een enkele kritische modus.
   • In het geval van twee kritische punten vertoont de DTOP alternerende sprongen en dalingen, wat de aanwezigheid van twee kritische momenta met een tegengestelde helling in de excitatiekans reflecteert.
   • De auteurs merken op dat de kritische tijden geëxtraheerd uit de biorthogonale return rate systematisch eerder optreden dan die afgeleid uit conventionele (Hermitische geconjugeerde) definities.

Significantie
Het artikel beweert een algemeen analytisch raamwerk te bieden voor het beschrijven van DQPT's in niet-Hermitische supergeleiders met deeltjesaantal-niet-conserverende interacties. Door het probleem te mappen naar een effectief niet-Hermitisch Landau-Zener probleem, vestigen de auteurs een directe verbinding tussen pseudo-Hermiticiteit, exceptional-point fysica en dynamische kwantumfaseovergangen onder continue drijving. De resultaten benadrukken dat hoewel het kwalitatieve gedrag van DQPT's in het tijdsomkeer-symmetrische regime ($\gamma > 0$) overeenkomt met het Hermitische geval, de niet-Hermitische parameter cruciaal de existentie van deze overgangen controleert in regimes die meerdere kritische punten bevatten. Het ontwikkelde analytische raamwerk wordt gepresenteerd als toepasbaar op andere integreerbare niet-Hermitische systemen, wat een platform biedt voor het verkennen van niet-evenwichtstopologie in technisch geconstrueerde kwantumsystemen.