Dynamical Quantum Phase Transitions in a Pseudo-Hermitian Hamiltonian: The Imbalanced-Pairing Kitaev Model

Resumo Técnico: Transições de Fase Quânticas Dinâmicas em um Hamiltoniano Pseudo-Hermitiano

Enunciado do Problema
Embora os Hamiltonianos com simetria Paridade-Tempo (PT) sejam conhecidos por possuírem espectros de energia reais, eles representam apenas uma subclasse da classe mais ampla de Hamiltonianos pseudo-hermitianos, que também garantem espectros reais. Existe uma lacuna significativa na compreensão da dinâmica fora do equilíbrio de sistemas pseudo-hermitianos, particularmente sob protocolos de condução contínos (rampas), em vez de choques súbitos (quenches). Especificamente, o comportamento das Transições de Fase Quânticas Dinâmicas (DQPTs) — caracterizadas por não-analyticidades na densidade de energia livre dinâmica — permanece amplamente inexplorado em sistemas não-hermitianos que não conservam o número de partículas. Este artigo aborda a dinâmica do modelo de Kitaev de emparelhamento desbalanceado, um sistema pseudo-hermitiano prototípico com simetria de reversão temporal, submetido a um potencial químico linearmente dependente do tempo.

Metodologia
Os autores empregam um arcabouço biorthogonal para analisar a dinâmica fora do equilíbrio de um sistema integrável que se decompõe em Hamiltonianos de dois níveis independentes para cada modo de momento $k$.

• Formalismo Biorthogonal: Diferente dos sistemas hermitianos, os autoestados à direita do Hamiltoniano não-hermitiano não são ortogonais. O estudo utiliza uma base biorthogonal composta por autovetores à esquerda e à direita para definir um eco de Loschmidt biorthogonal normalizado ($L_k(t)$) e uma taxa de retorno ($g(t)$) correspondente.
• Protocolo de Rampa: O sistema é inicializado no estado fundamental de um Hamiltoniano com potencial químico $\mu_i$. Uma rampa linear, $\mu(t) = \mu_f + vt$, conduz o sistema a um valor final $\mu_f$ com uma velocidade de varredura $v$.
• Solução Analítica: A equação de Schrödinger dependente do tempo para cada setor de momento é resolvida exatamente usando o formalismo de Landau-Zener adaptado para sistemas não-hermitianos. Isso resulta em expressões exatas para as probabilidades de excitação ($p_k$) e a amplitude de Loschmidt biorthogonal.
• Caracterização Topológica: O estudo calcula o Parâmetro de Ordem Topológica Dinâmica (DTOP), definido via a fase geométrica de Pancharatnam da amplitude de Loschmidt biorthogonal, para fornecer um marcador topológico para as transições.

Principais Contribuições e Resultados
O artigo estabelece as condições sob as quais as DQPTs ocorrem em sistemas pseudo-hermitianos e caracteriza sua dependência do parâmetro de não-hermiticidade $\gamma$ e da velocidade de varredura $v$.

1. Necessidade de Espectros Reais: Os autores demonstram que as DQPTs sob um protocolo de rampa linear ocorrem apenas quando o Hamiltoniano pós-rampa possui um espectro de energia real. Se o sistema entrar em um regime com autovalores complexos (simetria de reversão temporal quebrada), as DQPTs são suprimidas.
2. Rampas de Ponto Crítico Único ($\gamma > 0$):
   • Para rampas que cruzam um único ponto crítico quântico (onde o gap fecha em $k=\pi$), sempre existe um momento crítico único $k^*$ satisfazendo $p_{k^*} = 1/2$.
   • Isso resulta em uma única família de tempos críticos ($t^*_n$) e uma sequência de DQPTs.
   • O parâmetro de não-hermiticidade $\gamma$ desloca continuamente a localização de $k^*$, mas não suprime as DQPTs nem gera modos críticos adicionais, desde que $\gamma > 0$.
3. Rampas de Dois Pontos Críticos/Pontos Excepcionais:
   • Quando a rampa cruza dois pontos críticos (para $\gamma > 0$) ou dois pontos excepcionais (para $\gamma < 0$), a dinâmica é governada pelos modos de fechamento de gap em $k=0$ e $k=\pi$, onde $p_k=1$.
   • As DQPTs ocorrem apenas se a probabilidade de excitação mínima (próximo a $k=\pi/2$) cair abaixo de $1/2$. Esta condição é atendida apenas para velocidades de varredura $v$ abaixo de um limiar crítico $v_c$.
   • A velocidade crítica $v_c$ é derivada analiticamente como $v_c = \frac{\pi \gamma \Delta^2}{\ln(1+\gamma)}$.
   • À medida que o parâmetro de não-hermiticidade $\gamma$ diminui em direção ao limite de emparelhamento estagiado ($\gamma = -1$), $v_c$ diminui e eventualmente desaparece. Para $\gamma < -1$, as DQPTs são completamente suprimidas para qualquer velocidade de varredura.
4. Assinaturas Topológicas:
   • No caso de ponto crítico único, o DTOP exibe saltos (ou quedas) sucessivos de uma unidade, indicando um único modo crítico.
   • No caso de dois pontos críticos, o DTOP mostra saltos e quedas alternados, refletindo a presença de dois momentos críticos com inclinações opostas na probabilidade de excitação.
   • Os autores observam que os tempos críticos extraídos da taxa de retorno biorthogonal ocorrem sistematicamente antes daqueles derivados de definições convencionais (hermitiano conjugado).

Significância
O artigo afirma fornecer um arcabouço analítico geral para descrever DQPTs em supercondutores não-hermitianos com interações que não conservam o número de partículas. Ao mapear o problema para um problema de Landau-Zener não-hermitiano efetivo, os autores estabelecem uma conexão direta entre pseudo-hermiticidade, física de pontos excepcionais e transições de fase quânticas dinâmicas sob condução contínua. Os resultados destacam que, embora o comportamento qualitativo das DQPTs no regime de reversão temporal ($\gamma > 0$) se assemelhe ao caso hermitiano, o parâmetro de não-hermiticidade controla criticamente a existência dessas transições em regimes envolvendo múltiplos pontos críticos. O arcabouço analítico desenvolvido é apresentado como aplicável a outros sistemas não-hermitianos integráveis, oferecendo uma plataforma para explorar a topologia fora do equilíbrio em sistemas quânticos projetados.