Dynamical Quantum Phase Transitions in a Pseudo-Hermitian Hamiltonian: The Imbalanced-Pairing Kitaev Model

Résumé Technique : Transitions de Phase Quantiques Dynamiques dans un Hamiltonien Pseudo-Hermitien

Énoncé du Problème
Bien que les Hamiltoniens possédant une symétrie Parité-Temps (PT) soient connus pour avoir des spectres d'énergie réels, ils ne représentent qu'une sous-classe de la catégorie plus large des Hamiltoniens pseudo-hermitiens, qui garantissent également des spectres réels. Un fossé important subsiste dans la compréhension de la dynamique hors équilibre de ces systèmes pseudo-hermitiens, particulièrement sous des protocoles de pilotage continu (rampes) plutôt que des quenches soudaines. Plus précisément, le comportement des Transitions de Phase Quantiques Dynamiques (DQPT) — caractérisées par des non-analyticités de la densité de l'énergie libre dynamique — reste largement inexploré dans les systèmes non-hermitiens qui ne conservent pas le nombre de particules. Cet article traite de la dynamique du modèle de Kitaev à appariement déséquilibré, un système pseudo-hermitien prototypique possédant une symétrie de renversement du temps, soumis à un potentiel chimique dépendant linéairement du temps.

Méthodologie
Les auteurs emploient un cadre biorthogonal pour analyser la dynamique hors équilibre d'un système intégrable qui se décompose en Hamiltoniens de deux niveaux indépendants pour chaque mode d'impulsion $k$.

• Formalisme Biorthogonal : Contrairement aux systèmes hermitiens, les états propres à droite du Hamiltonien non-hermitien ne sont pas orthogonaux. L'étude utilise une base biorthogonale composée de vecteurs propres à gauche et à droite pour définir un écho de Loschmidt biorthogonal normalisé ($L_k(t)$) et un taux de retour correspondant ($g(t)$).
• Protocole de Rampe : Le système est initialisé dans l'état fondamental d'un Hamiltonien avec un potentiel chimique $\mu_i$. Une rampe linéaire, $\mu(t) = \mu_f + vt$, conduit le système vers une valeur finale $\mu_f$ avec une vitesse de balayage $v$.
• Solution Analytique : L'équation de Schrödinger dépendante du temps pour chaque secteur d'impulsion est résolue exactement en utilisant le formalisme de Landau-Zener adapté aux systèmes non-hermitiens. Cela produit des expressions exactes pour les probabilités d'excitation ($p_k$) et l'amplitude de Loschmidt biorthogonale.
• Caractérisation Topologique : L'étude calcule l'Ordre Topologique Dynamique (DTOP), défini via la phase géométrique de Pancharatnam de l'amplitude de Loschmidt biorthogonale, afin de fournir un marqueur topologique pour les transitions.

Contributions Clés et Résultats
L'article établit les conditions sous lesquelles les DQPT se produisent dans les systèmes pseudo-hermitiens et caractérise leur dépendance vis-à-vis du paramètre de non-hermiticité $\gamma$ et de la vitesse de balayage $v$.

1. Nécessité de Spectres Réels : Les auteurs démontrent que les DQPT sous un protocole de rampe linéaire ne se produisent que lorsque le Hamiltonien post-rampe possède un spectre d'énergie réel. Si le système entre dans un régime de valeurs propres complexes (symétrie de renversement du temps brisée), les DQPT sont supprimées.
2. Rampes à Point Critique Unique ($\gamma > 0$) :
   • Pour les rampes traversant un point critique quantique unique (où le gap se ferme à $k=\pi$), un $k^*$ critique unique satisfaisant $p_{k^*} = 1/2$ existe toujours.
   • Cela résulte en une famille unique de temps critiques ($t^*_n$) et une séquence de DQPT.
   • Le paramètre de non-hermiticité $\gamma$ déplace continûment l'emplacement de $k^*$ mais ne supprime pas les DQPT et ne génère pas de modes critiques supplémentaires, pourvu que $\gamma > 0$.
3. Rampes à Deux Points Critiques/Exceptionnels :
   • Lorsque la rampe traverse deux points critiques (pour $\gamma > 0$) ou deux points exceptionnels (pour $\gamma < 0$), la dynamique est gouvernée par les modes de fermeture de gap à $k=0$ et $k=\pi$, où $p_k=1$.
   • Les DQPT ne se produisent que si la probabilité d'excitation minimale (près de $k=\pi/2$) est inférieure à $1/2$. Cette condition est remplie uniquement pour des vitesses de balayage $v$ inférieures à un seuil critique $v_c$.
   • La vitesse critique $v_c$ est dérivée analytiquement comme $v_c = \frac{\pi \gamma \Delta^2}{\ln(1+\gamma)}$.
   • À mesure que le paramètre de non-hermiticité $\gamma$ diminue vers la limite d'appariement échelonné ($\gamma = -1$), $v_c$ diminue et finit par s'annuler. Pour $\gamma < -1$, les DQPT sont complètement supprimées pour toute vitesse de balayage.
4. Signatures Topologiques :
   • Dans le cas du point critique unique, le DTOP présente des sauts (ou chutes) successifs d'une unité, indiquant un mode critique unique.
   • Dans le cas des deux points critiques, le DTOP montre des sauts et des chutes alternés, reflétant la présence de deux impulsions critiques avec des pentes opposées dans la probabilité d'excitation.
   • Les auteurs notent que les temps critiques extraits du taux de retour biorthogonal surviennent systématiquement plus tôt que ceux dérivés des définitions conventionnelles (hermitiennes conjuguées).

Signification
L'article affirme fournir un cadre analytique général pour décrire les DQPT dans les supraconducteurs non-hermitiens avec des interactions ne conservant pas le nombre de particules. En faisant correspondre le problème à un problème de Landau-Zener non-hermitien effectif, les auteurs établissent une connexion directe entre la pseudo-hermiticité, la physique des points exceptionnels et les transitions de phase quantiques dynamiques sous pilotage continu. Les résultats soulignent que, bien que le comportement qualitatif des DQPT dans le régime de symétrie de renversement du temps ($\gamma > 0$) ressemble au cas hermitien, le paramètre de non-hermiticité contrôle de manière critique l'existence de ces transitions dans les régimes impliquant plusieurs points critiques. Le cadre analytique développé est présenté comme applicable à d'autres systèmes non-hermitiens intégrables, offrant une plateforme pour explorer la topologie hors équilibre dans les systèmes quantiques artificiels.