Phonon-assisted tunneling in Jahn-Teller E$\times$e impurity centers in crystals

技術要約：結晶中のヤーン・テラー $E \times e$ 不純物中心におけるフォノン媒介トンネル現象

問題提起
本論文は、$E \times e$ ヤーン・テラー効果を示す結晶における、歪んだ状態間のトンネル遷移のダイナミクスを扱っている。ゼロ温度でのトンネル現象は通常、コヒーレントな擬似回転として扱われるが、結晶内に存在するフォノン連続体は振動緩和を誘起する。温度の上昇に伴い、このコヒーレントな運動は非コヒーレントなフォノン媒介トンネルへと遷移する。従来の理論的取り扱いでは、強いビブロン相互作用が存在する場合、特に「強いドゥシュンスキー効果」（フォノン連続体の顕著な混合）や、線形および二次的な振動相互作用の両方の包含に関して、この領域をモデル化することに苦慮してきた。具体的には、二次的な相互作用が強い状況下における、トンネル速度の温度依存性と遷移スペクトルの広がりを生じさせるメカニズムが、数学的な複雑さのために未解決のままであった。

手法
これらの問題を解決するために、著者は近年の研究 [19, 20] で開発された、任意の線形および二次的なビブロン相互作用に適用可能な、電子遷移の非摂動論を用いている。本研究は、二重に縮退した電子状態が二重に縮退した振動と相互作用する $E \times e$ 問題に焦点を当てている。

• ハミルトニアンの定式化： 系は、線形（$a$）および二次（$b$）の相互作用パラメータを含むビブロン・ハミルトニアンによって記述される。ポテンシャルエネルギー面（PES）の解析において、線形相互作用は連続的な溝を持つ「メキシカンハット」型の形状を形成する一方で、二次相互作用は軸対称性を破り、障壁によって隔てられた3つの離散的な極小点を作り出すことが示されている。
• フォノン・ダイナミクス： ヤーン・テラー歪みによって引き起こされるフォノン・ダイナミクスの変化は、フォノン・グリーン関数法を用いて定量化される。デバイ・ファン・ホーフェン・モデルを利用してフォノン状態密度（DOS）を記述し、トンネル過程への音響フォノンの特異な寄与を考慮している。
• 遷移速度の計算： 非コヒーレントなトンネル遷移速度（$\Omega$）は、フェルミの黄金律を用いて計算される。この手法は、弱い二次相互作用に限定される標準的な累次展開（cumulant decomposition）を回避する。代わりに、ストラトノヴィッチの恒等式を利用して、二次的なビブロン相互作用をランダムに変動する線形相互作用として扱い、任意の相互作用強度に対する遷移速度スペクトル（$F(t)$）の計算を可能にしている。この手法は、フォノンの生成と消滅を伴う2次フォノン・ラマン型プロセスを明示的に考慮している。

主な貢献および結果

1. スペクトルの広がりと共鳴の劣化： 本研究は、フォノン散乱がトンネル現象に随伴することで、エネルギースペクトルの広がり（$\gamma$）をもたらすだけでなく、遷移の平均周波数（$\delta$）のシフトも引き起こすことを確立した。このシフトは零点振動に起因しており、ラマン過程において、同程度の周波数のフォノンを消滅させることよりも、フォノンを生成することの方が確率的に高くなるためである。その結果、温度上昇に伴い共鳴のチューニングは劣化する。
2. 低温域における温度依存性： 温度 $T \ll T_D$ （デバイ温度）において、スペクトル幅と平均周波数は特定の冪乗則に従う：$\gamma \propto T^7$ および $\delta \propto T^4$ である。
3. トンネル速度の挙動： 弱い不均一電場を持つ完全結晶において、トンネル速度 $\Omega$ は $\gamma^2 + \delta^2$ に比例する。低温域では、これは逆線形温度依存性（$\Omega \propto T^{-1}$）をもたらす。これは高温域における多フォノン過程が支配的となり、$\Omega$ が温度とともに増加するというアレニウス型の挙動を示すこととは対照的である。$\Omega$ が減少から増加へと転じることは、量子トンネルから古典的な障壁乗り越えへの移行を意味している。
4. 臨界二次相互作用（$b_0$）： 重要な知見として、臨界二次ビブロン相互作用パラメータ $b_0 \approx 1/9$ （デバイ周波数単位）の存在が挙げられる。
   • $b < b_0$ の場合、PESの溝は軟らかく、溝に沿った振動は溝を横切る振動よりもはるかに軟らかいため、強いフォノン混合（ドゥシュンスキー回転）と急速なデコヒーレンスが生じる。
   • $b$ が $b_0$ に近づくと、溝に沿った振動と横切る振動の差が減少する。ちょうど $b = b_0$ のとき、異なるPES極小間でのフォノンスペクトルは同一となり（平衡位置は異なるものの）、トンネル中のフォノン混合が消失する。
   • したがって、$b \approx b_0$ ではラマン過程が抑制され、比較的高い温度でもトンネルはコヒーレントなまま維持される。
   • $b > b_0$ では、混合およびデコヒーレンス効果が再出現し、増大する。

意義および主張
本論文は、摂動論に頼ることなく、強い二次的なビブロン相互作用を考慮した $E \times e$ 系におけるトンネル遷移速度の温度依存性を説明する初の理論的解明であると主張している。

• 実験との整合性： 導出された温度依存性（低温での $\Omega \propto T^{-1}$ と、その後の温度上昇に伴う増加）は、$Al_2O_3:Ni$、$GaAs:Mn$、および$GaAs:Cu$ 結晶における超音波減衰の実験的観察と一致している。本論文は、先行研究においてこれらの現象は観察されていたものの、速度が減少から増加へと変化する具体的な理由についての理論的説明が欠けていたことを指摘している。
• メカニズムの明確化： トンネル遷移の平均周波数の温度依存性が、光学スペクトルのゼロフォノン線（ZPL）を支配する一次の二次相互作用ではなく、二次的な相互作用（ラマン過程）によって駆動されるものであることを明確にした。
• コヒーレンスの保持： $b_0$ 周辺の臨界領域の特定は、強いヤーン・テラー効果の文脈において、これまで説明が困難であった「コヒーレントなトンネルが高温でも持続する条件」に対する理論的根拠を提供している。

著者は、線形および二次的な相互作用の相互作用がフォノン・ダイナミクスを根本的に変えること、そして特定の臨界二次相互作用の値が、デコヒーレンス・メカニズムを事実上「オフ」にし、本来であれば失われるはずの領域で量子コヒーレンスを保持させることができると結論付けている。