Characterising the set of deterministic quantum correlations in prepare-and-measure scenarios

魔法の箱の謎

あなたはカーニバルにいて、不思議な「魔法の箱」の前に立っていると想像してください。左側のスロットに特定の色のボールを落とすと、右側でライトが点滅します。ライトは赤だったり、青だったりします。古典物理学の世界――ボールを投げたり自転車に乗ったりといった、私たちの日常生活を支配するルール――では、この箱は単純な機械でしょう。もしボールがどのように作られ、中の歯車がどのようにセットアップされているかを正確に知っていれば、どのライトが点滅するかを100％の確実性で予測できます。その結果は、時計が刻む音のように、あらかじめ決定されているのです。

しかし、量子物理学――原子や粒子という極めて微小な世界を司るルールブック――は、異なるルールに従います。時には、たとえボールと箱についてあらゆる知識を持っていたとしても、点滅するライトが真のサプライズとなることがあります。それは私たちが計算に劣っているからではなく、あなたがその結果を見るまで、宇宙自体が答えを決めていなかった可能性があるからです。この「本質的な非決定性」こそが、量子コンピュータや超セキュアな暗号を可能にする秘伝のソースなのです。もしあるシステムが真に予測不可能であることを証明できれば、完璧な乱数を生成したり、メッセージが改ざんされていないことを証明したりすることができます。

科学者がずっと問い続けてきた大きな疑問は、「あるシステムが本当に量子的なのか、それとも単なる巧妙な古典的なトリックなのかを、どうすれば確実に判断できるのか？」ということです。通常、これを証明するには、「エンタングルメント（量子もつれ）」と呼ばれる特別なつながりを共有する、遠く離れた二人の人物による非常に困難な実験を行う必要があります。しかし、もしもっとシンプルな設定、つまり一人が粒子を準備して、もう一人がそれを測定するという設定でテストしたいとしたらどうでしょうか？ これは「準備と測定（prepare-and-measure）」と呼ばれるシナリオです。封筒（準備）を友人に送り、その友人が封筒を開けてメモ（測定）を読むようなものです。課題は、中のメモが事前に書かれたもの（決定的）なのか、それとも封筒を開けた瞬間に作成されたもの（量子）なのかを見極めることです。

探偵の新しい道具

この新しい研究において、ニコラ・ダレッサンドロ、オリバー・カールソン、そしてカルロス・ロッチ・イ・カルセラーは、この謎を解くための巧妙な新しい方法を提案しています。彼らは、システムがランダムであることを証明しようとする代わりに、その脚本を書き換え、「超スマートな探偵が事前に答えを突き止めることができるだろうか？」と問いかけます。

「イヴ」と名付けた悪党を想像してみてください。彼女はシステムをテストしようとしています。イヴには特別な超能力があります。彼女は、魔法の箱がどのように機能するかを制御する秘密のコード（「隠れた変数」と呼ばれます）を知っています。もしシステムが真に古典的であれば、イヴは自分のコードを見て、あなたが次にどのようなボールを落とすかを把握し、どのライトが点滅するかを完璧な精度で予測できるはずです。もしイヴがこれを実行できれば、そのシステムは「古典的」であり、退屈なものです。しかし、もしイヴが全力を尽くしても、なお運の良い推測以上の予測ができないのであれば、そのシステムは「非古典的」であり、真に量子的なのです。

著者たちは、この「イヴ」という視点が、量子乱数生成（QRNG）と呼ばれる分野で使用されている既存のツールと完璧に一致することに気づきました。通常、QRNGの専門家は、システムが「どれほど」予測不可能であるかを測定しようとします。彼らはその考え方を逆転させ、「システムが予測不可能であることを証明できるか？」と問うたのです。もし答えが「いいえ、予測不可能です」であれば、そのシステムが量子であることを証明できたことになります。

さまざまな種類の実験に対応させるために、チームは「半正定値計画法（SDP）緩和」と呼ばれる数学的な「フィルター」のセットを開発しました。これは、箱が従うべきルールに応じた、魔法の箱に対する異なる種類のセキュリティチェックのようなものです。彼らは以下の3つの具体的なシナリオをテストしました。

1. 固定アンサンブル（Fixed Ensemble）: 送信者が常に特定の、既知のボールのセットを使用する場合を想定します。研究者たちは、使用されているボールの正確な混合比を知った上で、イヴが結果を予測できるかどうかをチェックしました。
2. 限定されたオーバーラップ（Bounded Overlaps）: ここでは、送信者は固定されたセットを使用する必要はありませんが、ボール同士は特定の意味で「似て」いなければなりません（あまりに違いすぎてはいけません）。チームは、この類似性のルールを前提として、イヴが結果を予測できるかどうかをチェックしました。
3. 制限された観測量（Restricted Observables）: このケースでは、送信者はボールが持つ「エネルギー」や特定の特性（光子、つまり光の粒子の数などの制限）によって制限されます。彼らは、これらのエネルギー制限の下で、イヴが結果を予測できるかどうかをチェックしました。

彼らが発見したこと

これらの新しいツールを用いて、著者たちはシミュレーションを実行し、「予測可能」と「量子」の境界線がどこにあるのかを探りました。彼らは単に推測したのではなく、強力なコンピュータ・アルゴリズムを使用して、正確な数学的境界を導き出しました。

固定アンサンブルのシナリオでは、彼らはスコアカードとして機能する一般的なルール（「ウィットネス」）を導き出しました。もしスコアが高すぎれば、それはイヴがいかに努力しても結果を予測できないことを証明します。彼らは、「互いに直交しない基底（mutually unbiased bases）」（ボールが完全に異なり、互換性のない方法で準備されていることを意味する、少し難しい言い方です）を含む特定のセットアップにおいて、量子的なスコアが、予測可能な古典的モデルが到達し得ないレベルにあることを示しました。例えば、5種類のボールがあるセットアップでは、量子システムは古典的モデルには決して触れることのできない成功確率に達することができます。

限定されたオーバーラップのシナリオでは、イヴをテストするためにボールがどの程度似ている必要があるかを調査しました。彼らは、もしボールが似すぎている（高いオーバーラップを持つ）場合、イヴは結果を予測できることを発見しました。しかし、ボールがより明確に区別されるようになると、イヴが予測能力を失う「転換点」が存在します。彼らは、特定の入力数に対して、この転換点が正確にどこにあるかを計算するための簡潔な公式さえも作り上げました。

最後に、制限された観測量のシナリオにおいて、彼らはこれらの手法を光粒子（フォトロン）に適用しました。彼らは、送信者がごく少数の光子しか使用できない制限がある状況をシミュレートしました。彼らのシミュレーションは、これらの厳格な制限下であっても、入力の特定の組み合わせにおいて、システムがイヴには予測できない挙動を示すことを示し、光の量子的な性質を証明しました。

この論文は、宇宙のあらゆる謎を解明したと主張しているわけでも、これらの方法があらゆる可能な実験に通用すると述べているわけでもありません。むしろ、これは多才なツールキットを提示しています。 「イヴはこれを予測できるか？」と問うことで、固定された粒子のセットから厳格なエネルギー制限を持つものまで、さまざまな状況において量子的な振る舞いを体系的に証明できることを示しています。このアプローチは、「古典性」とは単なるオン・オフのスイッチではなく、もっと階段のようなものであることを明らかにしています。あるシステムは、ある入力に対しては予測可能であり、別の入力に対しては量子的であるということがあり、科学者がより精密に探索できる豊かな階層構造を生み出しているのです。

要約すると、これらの研究者たちは私たちに新しい拡大鏡を与えてくれました。「悪党がシステムをテストしようとする」というイメージを用いることで、彼らは、宇宙が真に「かくれんぼ」をしていること、そして時には、最高の探偵であっても箱が開けられるまで答えを見つけることができないことを証明する方法を見出したのです。