$S$-Integral Points in Orbits on $\mathbb{P}^1$

기술 요약: $\mathbb{P}^1$ 상의 궤도 내 $S$-정수 점들

문제 정의
$K$를 수체(number field)라 하고, $S$를 모든 아르키메데스적 장소(archimedean places)를 포함하는 유한한 장소들의 집합이라 하자. $\phi: \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$를 $K$ 위에서 정의된 차수 $d \ge 2$인 유리 사상(rational map)이라 하자. 비전주기적(non-preperiodic) 점 $\alpha \in \mathbb{P}^1(K)$와 비예외적(non-exceptional) 점 $\beta \in \mathbb{P}^1(K)$에 대하여, 본 논문은 전방 궤도(forward orbit) $\{\phi^n(\alpha)\}_{n \ge 0}$ 중 $\beta$에 대해 $S$-정수인 점의 개수를 조사한다. 두 점 $x, y$가 서로 $S$-정수라는 것은 모든 장소 $v \notin S$에 대해 그들의 환원(reduction)이 서로 다르다는 것을 의미한다.

Silverman [Sil93]이 이러한 점들의 유한성을 확립했으나, 정량적 경계(quantitative bounds)는 연구의 대상이 되어 왔다. Hsia와 Silverman [HS11]의 선행 연구는 $c \cdot 4^{|S|}$ 형태의 경계를 제공하였고, Krieger 등 [KLS+15]은 지수적 경계인 $c^{|S|}$를 확립하였다. 본 논문의 주요 목표는 $|S|$에 대한 의존도를 지수적(exponential)에서 초선형(superlinear)으로 개선하는 것이다.

방법론
증명 전략은 정규 높이(canonical height) $\hat{h}_\phi$와 Weil 높이 $h$를 활용하여 Silverman [Sil93] 및 Hsia–Silverman [HS11]이 구축한 동역학적 프레임워크를 따른다. 핵심 접근법은 $S$-정수 조건을 Roth의 정리의 정량적 버전과 연관시키는 것이다.

1. 축소 및 정규화 (Reduction and Normalization): 저자들은 먼저 일반적인 경우를 $\alpha$의 정규 높이가 $\phi$와 $\beta$의 높이에 비해 충분히 큰 시나리오로 축소한다. 이는 $\alpha$를 반복 적용하고 아핀 공액(affine conjugation)을 적용하여, 관련 궤도나 $\beta$의 역상(preimage)에 $\infty$가 나타나지 않도록 하기 위함이다.
2. 비초첨립(Non-Superattracting) 경우: $\beta$가 초첨립 주기(superattracting cycle)의 일부가 아닐 때, 증명은 유리 사상에 대한 역함수 정리(inverse function theorem)를 활용한다. 신중하게 선택된 정수 $N$( $|S|$에 의존함)에 따른 역상 $\phi^{-N}(\beta)$를 분석함으로써, 저자들은 만약 $\phi^n(\alpha)$가 $S$-정수라면, $\phi^{n-N}(\alpha)$가 특정 장소 $v \in S$에서 특정 역상 $\beta_i$에 매우 가깝게 위치해야 함을 보인다.
   • 저자들은 비둘기집 원리와 "예외적" 장소들의 분포에 대한 조합론적 분석을 결합하여 사용한다. 이들은 특정 높이 부등식(Roth의 정리로부터 유도됨)을 만족하는 장소의 개수에 따라 인덱스의 부분집합을 정의한다.
   • 결정적으로, $S$ 전체에 대해 동시에 Roth의 정리를 적용하는 대신(이는 지수적 경계를 낳음), 단일 장소 $v$에 대해 각각 정량적 버전의 Roth의 정리(Gross [Gro90]의 정리 2.1)를 적용한다. 이를 통해 예외의 개수에 대한 더 타이트한 경계를 얻을 수 있다.
3. 초첨립(Superattracting) 경우: $\beta$가 초첨립 주기에 놓여 있을 때, 역상의 다중도(multiplicity)가 증가하여 역함수 접근법이 효과를 덜 발휘하게 된다. 대신, 저자들은 국소 거리 $|\phi^n(\alpha) - \beta|_v$의 성장을 직접 분석한다. 테일러 급수 전개와 초첨립 주기의 성질을 사용하여, 저자들은 거리가 다중도 $e$에 의해 결정되는 속도로 감소함을 보인다. 이 감소 속도를 전역 높이 $h(\phi^n(\alpha))$의 성장과 비교함으로써, Roth의 정리를 호출하지 않고 높이 부등식과 곱 공식(product formula)만을 이용하여 충분히 큰 $n$에 대해 모순을 도출한다.
4. 균등성 (Uniformity): 나쁜 감소(bad reduction)가 유계인 다항식의 경우, 저자들은 Looper [Loo19]의 정규 높이에 대한 균등 하한 결과들을 활용한다. 다항식을 표준형으로 공액시키고 "준-$(S, \epsilon)$-정수성(quasi-$(S, \epsilon)$-integrality)" 개념을 사용하여, 공액이 $S$-정수성에 미치는 영향을 제어함으로써 균등 경계를 확립한다.

주요 결과

• 정리 1.1 (주요 경계): 고정된 수체 $K$와 유리 사상 $\phi$에 대하여, 임의의 비전주기적 $\alpha$와 비예료적 $\beta$에 대해 다음을 만족하는 상수 $c_1$이 존재한다:
  $$|\{n \ge 0 \mid \phi^n(\alpha) \text{는 } \beta \text{에 대해 } S\text{-정수이다}\}| \le c_1 |S| (\log |S| + 1)^5$$
  이는 $|S|$에 대한 기존의 지수적 경계보다 유의미한 개선이다.

• 정리 1.2 (명시적 의존성): 사상의 높이와 $\alpha$의 정규 높이를 명시적으로 추적하는 더 정밀한 경계가 제공된다:
  $$\text{Count} \le c_2 |S| (\log |S| + 1)^6 + \log_d^+ \left( \frac{h(\phi) + 1}{\hat{h}_\phi(\alpha)} \right)$$
  논문은 일반적인 유리 사상의 경우 $h(\phi)/\hat{h}_\phi(\alpha)$의 비율에 대한 의존성이 필요하며 이를 제거할 수 없음을 명시한다(Proposition 6.1).

• 정리 1.3 (다항식에 대한 균등성): $\phi(z)$가 최대 $s$개의 나쁜 감소 장소를 갖는 $d$차 다항식이고 ($\phi(z) \neq cz^d$인 경우), 궤도 내 $S$-단위(S-units)의 개수는 $[K:\mathbb{Q}], d, s, |S|$에 의존하는 상수 $c_3$에 의해 균등하게 유계된다. 이는 Krieger 등 [KLS+15]의 결과를 나쁜 감소가 유계된 다항식으로 확장한 것이다.

의의 및 주장
본 논문은 동역학적 궤도 내 $S$-정수 점의 개수에 대해 최초로 초선형 상한을 제공하며, 기존에 알려진 지수적 경계를 개선했다고 주장한다. 이러한 개선은 Roth의 정리를 적용하는 방식을 정교화함으로써 달성되었는데, $S$ 전체에 대한 전역적 적용에서 단일 장소에 대한 국소적 적용으로 전환하고, 역상 구조의 조합론적 최적화를 결합한 결과이다.

저자들은 일반적인 경우에서 $h(\phi)/\hat{h}_\phi(\alpha)$ 높이 비율에 대한 의존성이 구성된 반례에 의해 입증되었듯 피할 수 없음을 명시적으로 밝힌다. 그러나 나쁜 감소가 유계된 다항식이라는 특정 클래스에 대해서는, 이 의존성을 성공적으로 제거하여 균등한 경계를 얻음으로써 [KLS+15]에서 제기된 문제를 해결하였다. 본 결과들은 새로운 깊은 추측을 도입하기보다는 Roth의 정리와 높이 부등식과 같은 확립된 도구들에 의존하며, 기존의 유한성 정리들을 정량적으로 정교화한 것이다.