$S$-Integral Points in Orbits on $\mathbb{P}^1$

Resumen Técnico: Puntos $S$-integros en Órbitas en $\mathbb{P}^1$

Planteamiento del Problema
Sea $K$ un cuerpo de números y $S$ un conjunto finito de lugares que contiene todos los lugares arquimédicos. Considere un mapa racional $\phi: \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$ de grado $d \ge 2$ definido sobre $K$. Para un punto no preperiódico $\alpha \in \mathbb{P}^1(K)$ y un punto no excepcional $\beta \in \mathbb{P}^1(K)$, el artículo investiga el número de puntos en la órbita hacia adelante $\{\phi^n(\alpha)\}_{n \ge 0}$ que son $S$-integros con respecto a $\beta$. Dos puntos $x, y$ son $S$-integros entre sí si sus reducciones son distintas módulo $v$ para todo lugar $v \notin S$.

Si bien Silverman [Sil93] estableció la finitud de tales puntos, los límites cuantitativos han sido objeto de estudio. El trabajo previo de Hsia y Silverman [HS11] proporcionó un límite de la forma $c \cdot 4^{|S|}$, y Krieger et al. [KLS+15] establecieron un límite exponencial $c^{|S|}$. El objetivo principal de este artículo es mejorar la dependencia del tamaño del conjunto $S$, $|S|$, de exponencial a superlineal.

Metodología
La estrategia de prueba sigue el marco dinámico establecido por Silverman [Sil93] e Hsia–Silverman [HS11], utilizando la altura canónica $\hat{h}_\phi$ y la altura de Weil $h$. El enfoque central consiste en relacionar la condición de $S$-integralidad con una versión cuantitativa del teorema de Roth.

1. Reducción y Normalización: Los autores primero reducen el caso general a un escenario donde la altura canónica de $\alpha$ es suficientemente grande en relación con la altura del mapa $\phi$ y el punto $\beta$. Esto implica iterar $\alpha$ y aplicar conjugaciones afines para asegurar que $\infty$ no aparezca en las órbitas o preimágenes relevantes de $\beta$.
2. Caso No Superatractor: Cuando $\beta$ no es parte de un ciclo superatractor, la prueba aprovecha el teorema de la función inversa para mapas racionales. Al analizar las preimágenes $\phi^{-N}(\beta)$ para un entero $N$ cuidadosamente elegido (dependiente de $|S|$), los autores muestran que si $\phi^n(\alpha)$ es $S$-integro, entonces $\phi^{n-N}(\alpha)$ debe estar excepcionalmente cerca de una preimagen específica $\beta_i$ en algún lugar $v \in S$.
   • Los autores emplean un argumento de paloma combinado con un análisis combinatorio de la distribución de los lugares "excepcionales". Definen subconjuntos de índices basados en cuántos lugares satisfacen una desigualdad de altura específica derivada del teorema de Roth.
   • Crucialmente, en lugar de aplicar el teorema de Roth sobre todo el conjunto $S$ simultáneamente (lo que produce límites exponenciales), los autores aplican una versión cuantitativa del teorema de Roth (Teorema 2.1, debido a Gross [Gro90]) a un solo lugar $v a la vez. Esto permite un límite más ajustado en el número de excepciones.
3. Caso Superatractor: Cuando $\beta$ se encuentra en un ciclo superatractor, la multiplicidad de las preimágenes crece, lo que hace que el enfoque de la función inversa sea menos efectivo. En su lugar, los autores analizan directamente el crecimiento de la distancia local $|\phi^n(\alpha) - \beta|_v$. Utilizando expansiones de series de Taylor y propiedades de los ciclos superatractores, demuestran que la distancia decae a un ritmo determinado por la multiplicidad $e$. Al comparar esta tasa de decaimiento con el crecimiento de la altura global $h(\phi^n(\alpha))$, derivan una contradicción para $n$ suficientemente grande sin invocar el teorema de Roth, apoyándose en desigualdades de altura y la fórmula del producto.
4. Uniformidad: Para polinomios con reducción mala acotada, el artículo utiliza resultados de Looper [Loo19] respecto al límite inferior uniforme de las alturas canónicas. Al conjugar el polinomio a una forma normal y utilizar el concepto de "cuasi-$(S, \epsilon)$-integralidad", los autores controlan el efecto de la conjugación sobre la $S$-integralidad para establecer límites uniformes.

Resultados Clave

• Teorema 1.1 (Límite Principal): Para un mapa racional $\phi$ y un cuerpo de números $K$ fijos, existe una constante $c_1$ tal que para cualquier $\alpha$ no preperiódico y $\beta$ no excepcional, el número de puntos $S$-integros en la órbita está acotado por:
  $$|\{n \ge 0 \mid \phi^n(\alpha) \text{ es } S\text{-integro respecto a } \beta\}| \le c_1 |S| (\log |S| + 1)^5$$
  Esto representa una mejora significativa sobre los límites exponenciales previos en $|S|$.

• Teorema 1.2 (Dependencia Explícita): Se proporciona un límite más preciso que rastrea explícitamente la dependencia de la altura del mapa y la altura canónica de $\alpha$:
  $$\text{Conteo} \le c_2 |S| (\log |S| + 1)^6 + \log_d^+ \left( \frac{h(\phi) + 1}{\hat{h}_\phi(\alpha)} \right)$$
  El artículo señala que la dependencia de la razón $h(\phi)/\hat{h}_\phi(\alpha)$ es necesaria y no puede eliminarse en el caso general de mapas racionales (Proposición 6.1).

• Teorema 1.3 (Uniformidad para Polinomios): Si $\phi(z)$ es un polinomio de grado $d$ con a lo sumo $s$ lugares de reducción mala (y $\phi(z) \neq cz^d$), existe una constante $c_3$ que depende de $[K:\mathbb{Q}], d, s, |S|$ tal que el número de $S$-unidades en la órbita está uniformemente acotado por $c_3$. Esto extiende los resultados de Krieger et al. [KLS+15] a polinomios con reducción mala acotada.

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar el primer límite superior superlineal sobre el número de puntos $S$-integros en una órbita dinámica, mejorando los límites exponenciales conocidos anteriormente. La mejora se logra refinando la aplicación del teorema de Roth, pasando de una aplicación global sobre $S$ a una aplicación localizada sobre lugares individuales, junto con una optimización combinatoria de la estructura de las preimágenes.

Los autores declaran explícitamente que la dependencia de la razón de altura $h(\phi)/\hat{h}_\phi(\alpha)$ en el caso general es inevitable, como demuestra un contraejemplo construido. Sin embargo, para la clase específica de polinomios con reducción mala acotada, logran eliminar esta dependencia para alcanzar un límite uniforme, abordando una pregunta planteada en [KLS+15]. Los resultados se presentan como refinamientos cuantitativos de teoremas de finitud existentes en la dinámica aritmética, apoyándose en herramientas establecidas como el teorema de Roth y las desigualdades de altura en lugar de introducir nuevas conjeturas profundas.