$S$-Integral Points in Orbits on $\mathbb{P}^1$

Technische Samenvatting: $S$-integere punten in banen op $\mathbb{P}^1$

Probleemstelling
Laat $K$ een getallenlichaam zijn en $S$ een eindige verzameling plaatsen die alle archimedeische plaatsen bevat. Beschouw een rationale afbeelding $\phi: \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$ van graad $d \ge 2$ gedefinieerd over $K$. Voor een niet-preperiodiek punt $\alpha \in \mathbb{P}^1(K)$ en een niet-exceptioneel punt $\beta \in \mathbb{P}^1(K)$ onderzoekt het artikel het aantal punten in de voorwaartse baan $\{\phi^n(\alpha)\}_{n \ge 0}$ die $S$-inteer zijn ten opzichte van $\beta$. Twee punten $x, y$ zijn $S$-inteer ten opzichte van elkaar als hun reducties modulo $v$ verschillend zijn voor alle plaatsen $v \notin S$.

Hoewel Silverman [Sil93] de eindigheid van dergelijke punten heeft vastgesteld, is de studie naar kwantitatieve grenzen een onderwerp van onderzoek geweest. Voorgaand werk door Hsia en Silverman [HS11] leverde een grens van de vorm $c \cdot 4^{|S|}$, en Krieger et al. [KLS+15] stelden een exponentiële grens vast van $c^{|S|}$. Het primaire doel van dit artikel is om de afhankelijkheid van de grootte van de verzameling $S$, $|S|$, te verbeteren van exponentieel naar superlineair.

Methodologie
De bewijsstrategie volgt het dynamische kader dat is vastgesteld door Silverman [Sil93] en Hsia–Silverman [HS11], waarbij gebruik wordt gemaakt van de canonieke hoogte $\hat{h}_\phi$ en de Weil-hoogte $h$. De kernaanpak behelst het relateren van de $S$-integriteitsconditie aan een kwantitatieve versie van de stelling van Roth.

1. Reductie en Normalisatie: De auteurs reduceren eerst de algemene casus naar een scenario waarin de canonieke hoogte van $\alpha$ voldoende groot is ten opzichte van de hoogte van de afbeelding $\phi$ en het punt $\beta$. Dit geschiedt door $\alpha$ te itereren en affiene conjugaties toe te passen om te garanderen dat $\infty$ niet voorkomt in de relevante banen of preimages van $\beta$.
2. Niet-superattractief geval: Wanneer $\beta$ geen deel uitmaakt van een superattractieve cyclus, maakt het bewijs gebruik van de inverse functiestelling voor rationale afbeeldingen. Door de preimages $\phi^{-N}(\beta)$ te analyseren voor een zorgvuldig gekozen geheelte $N$ (afhankelijk van $|S|$), tonen de auteurs aan dat als $\phi^n(\alpha)$ $S$-inteer is, $\phi^{n-N}(\alpha)$ uitzonderlijk dicht bij een specifieke preimage $\beta_i$ moet liggen voor een bepaalde plaats $v \in S$.
   • De auteurs maken gebruik van een duifjesprincipe gecombineerd met een combinatorische analyse van de distributie van "exceptionele" plaatsen. Ze definiëren deelverzamelingen van indices op basis van hoeveel plaatsen voldoen aan een specifieke hoogte-ongelijkheid afgeleid van de stelling van Roth.
   • Cruciaal is dat in plaats van de stelling van Roth over de gehele verzameling $S$ tegelijkertijd toe te passen (wat exponentiële grenzen oplevert), de auteurs een kwantitatieve versie van de stelling van Roth (Theorem 2.1, door Gross [Gro90]) toepassen op een enkele plaats $v$ tegelijk. Dit maakt een nauwere grens op het aantal uitzonderingen mogelijk.
3. Superattractief geval: Wanneer $\beta$ in een superattractieve cyclus ligt, groeit de multipliciteit van de preimages, waardoor de inverse functie-aanpak minder effectief wordt. In plaats daarvan analyseren de auteurs de groei van de lokale afstand $|\phi^n(\alpha) - \beta|_v$ direct. Door gebruik te maken van Taylor-reeksontwikkelingen en eigenschappen van superattractieve cycli, tonen zij aan dat de afstand afneemt met een snelheid die wordt bepaald door de multipliciteit $e$. Door deze afnamesnelheid te vergelijken met de groei van de globale hoogte $h(\phi^n(\alpha))$, leiden zij een contradictie af voor voldoende grote $n$ zonder de stelling van Roth aan te roepen, waarbij zij vertrouwen op hoogte-ongelijkheden en de productformule.
4. Uniformiteit: Voor polynomen met een begrensde slechte reductie maken de auteurs gebruik van resultaten door Looper [Loo19] betreffende de uniforme ondergrens van canonieke hoogtes. Door de polynoom te conjugeren naar een normale vorm en gebruik te maken van het concept van "quasi-$(S, \epsilon)$-integriteit", controleren de auteurs het effect van conjugatie op $S$-integriteit om uniforme grenzen vast te stellen.

Belangrijkste Resultaten

• Theorem 1.1 (Hoofdgrens): Voor een vast getallenlichaam $K$ en een rationale afbeelding $\phi$, bestaat er een constante $c_1$ zodat voor elke niet-preperiodieke $\alpha$ en niet-exceptionele $\beta$, het aantal $S$-integere punten in de baan begrensd wordt door:
  $$|\{n \ge 0 \mid \phi^n(\alpha) \text{ is } S\text{-inteer ten opzichte van } \beta\}| \le c_1 |S| (\log |S| + 1)^5$$
  Dit vertegenwoordigt een significante verbetering ten opzichte van de voorheen bekende exponentiële grenzen in $|S|$.

• Theorem 1.2 (Expliciete Afhankelijkheid): Een nauwkeurigere grens wordt gegeven die expliciet de afhankelijkheid van de hoogte van de afbeelding en de canonieke hoogte van $\alpha$ bijhoudt:
  $$\text{Aantal} \le c_2 |S| (\log |S| + 1)^6 + \log_d^+ \left( \frac{h(\phi) + 1}{\hat{h}_\phi(\alpha)} \right)$$
  Het artikel merkt op dat de afhankelijkheid van de ratio $h(\phi)/\hat{h}_\phi(\alpha)$ noodzakelijk is en niet kan worden verwijderd in de algemene casus van rationale afbeeldingen (Proposition 6.1).

• Theorem 1.3 (Uniformiteit voor Polynomen): Als $\phi(z)$ een polynoom is van graad $d$ met ten hoogste $s$ plaatsen van slechte reductie (en $\phi(z) \neq cz^d$), dan bestaat er een constante $c_3$ die afhangt van $[K:\mathbb{Q}], d, s, |S|$ zodat het aantal $S$-eenheden in de baan uniform begrensd is. Dit breidt de resultaten van Krieger et al. [KLS+15] uit naar polynomen met begrensde slechte reductie.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt de eerste superlineaire bovengrens te bieden voor het aantal $S$-integere punten in een dynamische baan, wat een verbetering is ten opzichte van de voorheen bekende exponentiële grenzen. De verbetering wordt bereikt door de toepassing van de stelling van Roth te verfijnen, waarbij men overgaat van een globale toepassing over $S$ naar een gelokaliseerde toepassing over enkele plaatsen, gekoppeld aan een combinatorische optimalisatie van de preimage-structuur.

De auteurs geven expliciet aan dat de afhankelijkheid van de hoogte-ratio $h(\phi)/\hat{h}_\phi(\alpha)$ in de algemene casus onvermijdelijk is, zoals aangetoond door een geconstrueerd tegenvoorbeeld. Echter, voor de specifieke klasse van polynomen met begrensde slechte reductie, slagen zij erin deze afhankelijkheid te verwijderen om een uniforme grens te bereiken, waarmee zij een vraagstelling uit [KLS+15] adresseren. De resultaten worden gepresenteerd als kwantitatieve verfijningen van bestaande eindigheidsstellingen in de aritmetische dynamica, waarbij gebruik wordt gemaakt van gevestigde instrumenten zoals de stelling van Roth en hoogte-ongelijkheden in plaats van het introduceren van nieuwe diepe vermoedens.