$S$-Integral Points in Orbits on $\mathbb{P}^1$

Resumo Técnico: Pontos $S$-integrais em Órbitas em $\mathbb{P}^1$

Enunciado do Problema
Seja $K$ um corpo numérico e $S$ um conjunto finito de lugares contendo todos os lugares arquimedianos. Considere um mapa racional $\phi: \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$ de grau $d \ge 2$ definido sobre $K$. Para um ponto não pré-periódico $\alpha \in \mathbb{P}^1(K)$ e um ponto não excepcional $\beta \in \mathbb{P}^1(K)$, o artigo investiga o número de pontos na órbita direta $\{\phi^n(\alpha)\}_{n \ge 0}$ que são $S$-integrais em relação a $\beta$. Dois pontos $x, y$ são $S$-integrais entre si se suas reduções forem distintas módulo $v$ para todos os lugares $v \notin S$.

Embora Silverman [Sil93] tenha estabelecido a finitude de tais pontos, limites quantitativos têm sido objeto de estudo. O trabalho anterior de Hsia e Silverman [HS11] forneceu um limite da forma $c \cdot 4^{|S|}$, e Krieger et al. [KLS+15] estabeleceram um limite exponencial $c^{|S|}$. O objetivo principal deste artigo é melhorar a dependência do tamanho do conjunto $S$, $|S|$, de exponencial para superlinear.

Metodologia
A estratégia de prova segue o arcabouço dinâmico estabelecido por Silverman [Sil93] e Hsia–Silverman [HS11], utilizando a altura canônica $\hat{h}_\phi$ e a altura de Weil $h$. A abordagem central envolve relacionar a condição de $S$-integralidade a uma versão quantitativa do teorema de Roth.

1. Redução e Normalização: Os autores primeiro reduzem o caso geral a um cenário onde a altura canônica de $\alpha$ é suficientemente grande em relação à altura do mapa $\phi$ e do ponto $\beta$. Isso envolve iterar $\alpha$ e aplicar conjugações afins para garantir que $\infty$ não apareça nas órbitas ou pré-imagens relevantes de $\beta$.
2. Caso Não Superatrator: Quando $\beta$ não faz parte de um ciclo superatrator, a prova utiliza o teorema da função inversa para mapas racionais. Ao analisar as pré-imagens $\phi^{-N}(\beta)$ para um inteiro $N$ cuidadosamente escolhido (dependente de $|S|$), os autores mostram que, se $\phi^n(\alpha)$ é $S$-integral, então $\phi^{n-N}(\alpha)$ deve estar excepcionalmente próximo de uma pré-imagem específica $\beta_i$ em algum lugar $v \in S$.
   • Os autores empregam um argumento de gaveta (pigeonhole) combinado com uma análise combinatória da distribuição de lugares "excepcionais". Eles definem subconjuntos de índices baseados em quantos lugares satisfazem uma desigualdade de altura específica derivada do teorema de Roth.
   • Crucialmente, em vez de aplicar o teorema de Roth sobre todo o conjunto $S$ simultaneamente (o que produz limites exponenciais), os autores aplicam uma versão quantitativa do teorema de Roth (Teorema 2.1, de Gross [Gro90]) a um único lugar $v$ por vez. Isso permite um limite mais rigoroso no número de exceções.
3. Caso Superatrator: Quando $\beta$ pertence a um ciclo superatrator, a multiplicidade das pré-imagens cresce, tornando a abordagem da função inversa menos eficaz. Em vez disso, os autores analisam diretamente o crescimento da distância local $|\phi^n(\alpha) - \beta|_v$. Usando expansões de série de Taylor e propriedades de ciclos superatratores, eles demonstram que a distância decai a uma taxa determinada pela multiplicidade $e$. Ao comparar essa taxa de decaimento com o crescimento da altura global $h(\phi^n(\alpha))$, eles derivam uma contradição para $n$ suficientemente grande sem invocar o teorema de Roth, baseando-se em desigualdades de altura e na fórmula do produto.
4. Uniformidade: Para polinômios com má redução limitada, o artigo utiliza resultados de Looper [Loo19] relativos ao limite inferior uniforme de alturas canônicas. Ao conjugar o polinômio para uma forma normal e utilizar o conceito de "quasi-$(S, \epsilon)$-integralidade", os autores controlam o efeito da conjugação sobre a $S$-integralidade para estabelecer limites uniformes.

Principais Resultados

• Teorema 1.1 (Limite Principal): Para um mapa racional $\phi$ e um corpo numérico $K$ fixos, existe uma constante $c_1$ tal que, para qualquer $\alpha$ não pré-periódico e $\beta$ não excepcional, o número de pontos $S$-integrais na órbita é limitado por:
  $$|\{n \ge 0 \mid \phi^n(\alpha) \text{ é } S\text{-integral em relação a } \beta\}| \le c_1 |S| (\log |S| + 1)^5$$
  Isso representa uma melhoria significativa em relação aos limites exponenciais anteriores em $|S|$.

• Teorema 1.2 (Dependência Explícita): Um limite mais preciso é fornecido que rastreia explicitamente a dependência da altura do mapa e da altura canônica de $\alpha$:
  $$\text{Contagem} \le c_2 |S| (\log |S| + 1)^6 + \log_d^+ \left( \frac{h(\phi) + 1}{\hat{h}_\phi(\alpha)} \right)$$
  O artigo observa que a dependência da razão $h(\phi)/\hat{h}_\phi(\alpha)$ é necessária e não pode ser removida no caso geral de mapas racionais (Proposição 6.1).

• Teorema 1.3 (Uniformidade para Polinômios): Se $\phi(z)$ é um polinômio de grau $d$ com no máximo $s$ lugares de má redução (e $\phi(z) \neq cz^d$), existe uma constante $c_3$ dependente de $[K:\mathbb{Q}], d, s, |S|$ tal que o número de $S$-unidades na órbita é uniformemente limitado por $c_3$. Isso estende os resultados de Krieger et al. [KLS+15] para polinômios com má redução limitada.

Significância e Alegações
O artigo afirma fornecer o primeiro limite superior superlinear para o número de pontos $S$-integrais em uma órbita dinâmica, melhorando os limites exponenciais conhecidos anteriormente. A melhoria é alcançada refinando a aplicação do teorema de Roth, movendo-se de uma aplicação global sobre $S$ para uma aplicação localizada sobre lugares individuais, juntamente com uma otimização combinatória da estrutura de pré-imagens.

Os autores declaram explicitamente que a dependência da razão de altura $h(\phi)/\hat{h}_\phi(\alpha)$ no caso geral é inevitável, conforme demonstrado por um contraexemplo construído. No entanto, para a classe específica de polinômios com má redução limitada, eles conseguem remover essa dependência para alcançar um limite uniforme, abordando uma questão levantada em [KLS+15]. Os resultados são apresentados como refinamentos quantitativos de teoremas de finitude existentes em dinâmica aritmética, baseando-se em ferramentas estabelecidas como o teorema de Roth e desigualdades de altura, em vez de introduzir novas conjecturas profundas.