Dissipative ground-state preparation of a quantum spin chain on a trapped-ion quantum computer

기술 요약: 트랩 이온 양자 컴퓨터를 이용한 양자 스핀 체인의 소산적 바닥 상태 준비

문제 정의
양자 다체계의 바닥 상태 특성을 추정하는 것은 특히 시스템 크기가 크고 차원이 1보다 큰 경우, 정확한 대각화(exact diagonalization)나 밀도 행렬 재규격화 그룹(DMRG)과 같은 고전적 방법이 불가능해짐에 따라 여전히 중요한 과제로 남아 있습니다. 결함 허용 양자 위상 추정(fault-tolerant quantum phase estimation)은 양자 우위를 향한 경로를 제시하지만, 현재의 노이즈가 있는 중규모 양자(NISQ) 장치들은 이러한 알고리즘에 필요한 오류 수정을 갖추지 못하고 있습니다. 변분 양자 고유값 솔버(VQE)가 널리 사용되고 있으나, 베런 플레이토(barren plateaus) 문제와 높은 측정 오버헤드라는 문제점을 안고 있습니다. 최근에는 중간 회로 측정 및 리셋(MCMR)을 활용하여 개방 양자 계의 역학을 시뮬레이션하는 소산적 프로토콜(dissipative protocols)이 대안으로 부상했습니다. 그러나 이러한 프로토콜의 성능과 견고성, 특히 임의의 시간 이산화 조건 하에서의 수렴 보증에 대한 조사는 추가적인 연구가 필요합니다.

방법론
저자들은 Quantinuum의 트랩 이온 양자 컴퓨터인 Reimei를 사용하여 1차 횡장 이징 모델(transverse-field Ising model)에 대한 소산적 바닥 상태 준비 프로토콜을 제안하고 구현합니다. 이 방법론은 세 가지 주요 구성 요소로 이루어집니다:

1. 이론적 프레임워크 및 크라우스 표현식(Kraus Representation):
   저자들은 이전의 Ding 등[41]이 제안한 프로토콜을 재구성하여, 소산 채널 $\Gamma_K$에 대한 크라우스 표현식을 유도합니다. 작은 시간 단계(Lindblad 역학 영역)에 국한되었던 이전의 분석과 달리, 이 유도는 임의의 시간 이산화 단계 $\tau$에 대해서도 유효합니다. 채널은 보조 큐비트(ancilla qubit)와 기저 상태를 소멸시키는 점 연산자(jump operator) $\hat{K}$($\hat{K}|E_0\rangle = 0$)를 사용하는 확장된 유니터리 연산자 $\hat{W}(\sqrt{\tau}) = \exp(-i\hat{K}\sqrt{\tau})$를 사용하여 구축됩니다. 저자들은 바닥 상태가 유일한 정상 상태(steady state)라면, $\tau$의 크기에 관계없이 $\Gamma_K$를 반복 적용할 때 시스템 상태와 유일한 바닥 상태 사이의 충실도(fidelity)가 단조 증가함을 증명합니다.

2. 구현 세부 사항:

• 점 연산자(Jump Operator): 점 연산자는 에너지 증가 전이를 억제하는(지원 범위 $\omega \leq 0$) 필터 함수 $\tilde{f}(\omega)$의 연산자 푸리에 변환(OFT)을 통해 구축됩니다. 저자들은 페르미-디락 분포의 차이를 기반으로 한 필터를 사용합니다.
• 이산화: OFT의 연속 시간 적분은 유한한 구간 $[-S_s, S_s]$로 절단되고 이산화됩니다. 결과적인 유니터리는 시스템 해밀토니안 진화와 시스템-보조 큐비트 상호작용(Pauli gadgets)을 교대로 수행하는 2차 트로터 공식(second-order Trotter formula)을 사용하여 구현됩니다.
• 하드웨어 실행: 실험은 시스템 크기 $N=4, 6,$ 및 $19$에 대해 Reimei 시스템(20 큐비트)에서 수행되었습니다. 프로토콜은 수렴을 가속화하기 위해 소산적 단계와 결맞는 유니터리 진화를 교대로 수행합니다.

3. 오류 완화:
   하드웨어 노이즈를 해결하기 위해, 저자들은 네이티브 2-큐비트 $R_{ZZ}$ 게이트에 대한 게이트 폴딩(gate-folding) 방법을 사용하여 제로 노이즈 외삽법(ZNE)을 적용했습니다. 노이즈 없는 에너지 기댓값을 추정하기 위해 선형 및 지수 외삽 방식을 비교했습니다.

주요 기여

• 일반화된 이론적 증명: 본 논문은 소산적 바닥 상태 준비를 미소 시간 단계인 Lindblad 극한을 넘어 일반화하여, 임의의 이산화 단계 $\tau$에 대해 단조로운 충실도 증가를 증상적으로 증명함으로써 이론적 분석을 확장했습니다.
• 실험적 입증: 저자들은 단일 보조 큐비트를 사용하여 최대 19개의 스핀에 대해 이 프로토콜을 트랩 이온 양자 컴퓨터 상에서 성공적으로 구현했습니다.
• 견고성 분석: 본 연구는 프로토콜이 하드웨어 노이즈에 대해 내재적인 견고성을 보임을 입증합니다. 최대 4110개의 얽힘 게이트(entangling gates)를 포함하는 회로에서도, 역학은 완전히 실패하는 대신 일관되게 저에너지 상태로 수렴했습니다.
• ZNE 검증: ZNE의 적용은 에너지 기댓값을 체계적으로 개선하여, 노이즈 없는 시뮬레이션 결과와 통계적 불확실성 범위 내에서 일치하도록 만들었습니다.

결과

• 수렴: $N=4$ 및 $N=6$의 경우, 실험적 에너지 기댓값은 노이즈의 존재에도 불구하고 맥시멀리 믹스드 상태(maximally mixed state)보다 현저히 낮은 에너지의 정상 상태로 수렴했습니다.
• 확장성: $N=19$ 시스템의 경우, 프로토콜은 4110개의 $R_{ZZ}$ 게이트에 해당하는 시간 단계에서도 성공적으로 저에너지 상태를 준비했습니다.
• ZNE 성능:
  • $N=6$의 경우, 지수 외삽을 사용한 ZNE는 원시 노이즈 데이터($G=1$)에 존재하는 상대적 오차(약 30%)를 거의 완전히 제거했습니다.
  • $N=19$의 경우, ZNE는 가장 큰 시간 단계($m=30$)에서 상대적 오차를 약 3배(약 0.5에서 0.15로) 감소시켰습니다.
  • 지수 외로가 선형 외삽보다 일관되게 우수한 성능을 보였으며, 특히 시스템 크기가 크거나 회로가 깊을 때 그러했습니다.
• 노이즈 탄력성: 회로 깊이가 13,700개의 게이트($N=19$에 대해 $m=100$)까지 밀려난 시뮬레이션에서도, 시스템은 비제로(non-zero) 에너지 기댓값을 유지하였으며, 이는 프로토콜이 노이즈 하에서 단순히 무작위 혼합 상태로 퇴화하지 않음을 나타냅니다.

의의 및 주장
본 논문은 현재의 노이즈가 있는 양자 하드웨어에서 소산적 바닥 상태 준비 프로토콜의 내재적 견고성을 입증한다고 주장합니다. 임의의 시간 단계에 대해 유효한 크라우스 표현식을 유도함으로써, 저자들은 미소 시간 단계에 대한 엄격한 요구 없이 이 프로토콜을 구현할 수 있는 엄밀한 기초를 제공하며, 이는 제한된 결맞음 시간을 가진 NISQ 장치에 매우 중요합니다. 최대 19개의 스핀에 대한 바닥 상태 준비 성공과 ZNE를 통한 노이즈 없는 결과의 회복 능력은, 소산적 프로토콜이 NISQ 시대에 바닥 상태를 준비하기 위한 유망하고 견고한 접근 방식임을 시사합니다. 저자들은 정밀한 스펙트럼 파라미터(간극 및 반경)의 추정이 유익하지만, 필터 함수의 조건이 대략적으로 충족된다면 프로토콜이 근사적인 값에 대해서도 효과적으로 작동함을 언급했습니다. 결론적으로, 이 접근 방식은 양자 다체 해밀토니안의 바닥 상태를 준비하기 위한 변분 방법의 유망한 대안을 제공합니다.