Dissipative ground-state preparation of a quantum spin chain on a trapped-ion quantum computer

Technische Samenvatting: Dissipatieve Grondtoestandvoorbereiding van een Kwantumspinketen op een Trapped-Ion Kwantumcomputer

Probleemstelling
Het schatten van eigenschappen van de grondtoestand in kwantumveeldeeltjelsystemen blijft een aanzienlijke uitdaging, met name voor grote systeemgroottes en dimensies groter dan één, waar klassieke methoden zoals exacte diagonalisatie of density-matrix renormalization group (DMRG) onhandelbaar worden. Hoewel fouttolerante kwantumfase-estimatie een pad naar kwantumvoordeel biedt, missen huidige Noisy Intermediate-Scale Quantum (NISQ) apparaten de vereiste foutcorrectie voor dergelijke algoritmen. Variational Quantum Eigensolvers (VQE) worden veel gebruikt, maar lijden onder problemen zoals barren plateaus en een hoge meetoverhead. Recentelijk zijn dissipatieve protocollen naar voren gekomen als een alternatief, waarbij gebruik wordt gemaakt van mid-circuit meting en reset (MCMR) om de dynamica van open kwantumsystemen te simuleren. Echter, de prestaties en robuustheid van deze protocollen op huidige ruisgevoelige hardware, met name hun convergentiegaranties onder willekeurige temporele discretisatie, vereisen verder onderzoek.

Methodologie
De auteurs stellen een dissipatief grondtoestandvoorbereidingsprotocol voor een 1D transversaal-veld Ising-model voor op de Quantinuum trapped-ion kwantumcomputer, Reimei. De methodologie omvat drie primaire componenten:

1. Theoretisch Kader en Kraus-representatie:
   De auteurs herformuleren een eerder voorgesteld protocol door Ding et al. [41] door een Kraus-representatie voor het dissipatiekanaal $\Gamma_K$ af te leiden. In tegenstelling tot eerdere analyses die beperkt waren tot het Lindblad-dynamica-regime (kleine tijdstappen), is deze afleiding geldig voor willekeurige stappen van de temporele discretisatie $\tau$. Het kanaal wordt geconstrueerd met behulp van een ancilla-qubit en een gedilateerde unitaire operator $\hat{W}(\sqrt{\tau}) = \exp(-i\hat{K}\sqrt{\tau})$, waarbij $\hat{K}$ een sprongoperator (jump operator) is die ontworpen is om de grondtoestand te annihileren ($\hat{K}|E_0\rangle = 0$). De auteurs bewijzen dat de fidelity tussen de systeemtoestand en de unieke grondtoestand monotoon niet-afnemend is onder herhaalde toepassing van $\Gamma_K$, ongeacht de stapgrootte $\tau$, mits de grondtoestand de unieke steady state is.

2. Implementatiedetails:

• Sprongoperator: De sprongoperator wordt geconstrueerd via een Operator Fourier Transform (OFT) van een filterfunctie $\tilde{f}(\omega)$ die energie-verhogende transities onderdrukt (ondersteuning alleen op $\omega \leq 0$). De auteurs gebruiken een filter gebaseerd op het verschil tussen Fermi-Dirac-distributies.
• Discretisatie: De continue tijdsintegraal van de OFT wordt afgekapt tot een eindig interval $[-S_s, S_s]$ en gediscretiseerd. De resulterende unitaire operator wordt geïmplementeerd met behulp van een tweede-orde Trotter-formule, waarbij afgewisseld wordt tussen evolutie van de systeemhamiltoniaan en systeem-ancilla interacties (Pauli gadgets).
• Hardware-executie: Experimenten werden uitgevoerd op het Reimei-systeem (20 qubits) voor systeemgroottes $N=4, 6,$ en $19$. Het protocol wisselt dissipatieve stappen af met coherente unitaire evolutie om de convergentie te versnellen.

3. Foutmitigatie:
   Om de hardware-ruis aan te pakken, hebben de auteurs Zero-Noise Extrapolation (ZNE) toegepast met de gate-folding methode op natuurlijke twee-qubit $R_{ZZ}$-gates. Ze vergeleken lineaire en exponentiële extrapolatieschema's om de ruisvrije energie-verwachtingswaarden te schatten.

Belangrijkste Bijdragen

• Gegeneraliseerd Theoretisch Bewijs: De paper breidt de theoretische analyse van dissipatieve grondtoestandvoorbereiding uit voorbij de kleine-stap Lindblad-limiet, door een monotone toename van de fidelity te bewijzen voor willekeurige discretisatiestappen $\tau$.
• Experimentele Demonstratie: De auteurs hebben het protocol succesvol geïmplementeerd op een trapped-ion kwantumcomputer voor tot 19 spins, gebruikmakend van een enkele ancilla-qubit.
• Robuustheidsanalyse: De studie toont aan dat het protocol intrinsieke robuustheid vertoont tegen hardware-ruis. Zelfs met circuits die tot 4110 verstrengelende gates bevatten (voor $N=19$), convergeerde de dynamica consistent naar toestanden met een lage energie, ver verwijderd van de maximaal gemengde toestand, in plaats van volledig te falen.
• ZNE Validatie: De toepassing van ZNE verbeterde de energie-verwachtingswaarden systematisch, waardoor ze binnen de statistische onzekerheden overeenkwamen met de ruisvrije simulaties.

Resultaten

• Convergentie: Voor $N=4$ en $N=6$ convergeerden de experimentele energie-verwachtingswaarden naar steady states die aanzienlijk lager in energie waren dan de maximaal gemengde toestand, ondanks de aanwezigheid van ruis.
• Schaalbaarheid: Voor het $N=19$ systeem bereidde het protocol succesvol toestanden met lage energie voor, zelfs bij tijdstappen die overeenkomen met 4110 $R_{ZZ}$-gates.
• ZNE Prestaties:
  • Voor $N=6$ elimineerde ZNE met exponentiële extrapolatie bijna volledig de relatieve fout (ongeveer 30%) die aanwezig was in de ruwe ruisgevoelige data ($G=1$).
  • Voor $N=19$ verminderde ZNE de relatieve fout bij de grootste tijdstap ($m=30$) met een factor van ongeveer drie (van $\sim0,5$ naar $\sim0,15$).
  • Exponentiële extrapolatie presteerde consequent beter dan lineaire extrapolatie, met name voor grotere systeemgroottes en diepere circuits.
• Ruisresistentie: Zelfs in simulaties waarbij de circuitdiepte werd opgedreven naar 13.700 gates ($m=100$ voor $N=19$), behield het systeem een niet-nul energie-verwachtingswaarde, wat aangeeft dat het protocol niet simpelweg degradeert naar een willekeurige gemengde toestand onder invloed van ruis.

Betekenis en Claims
De paper claimt aan te tonen dat dissipatieve grondtoestandvoorbereidingsprotocollen intrinsiek robuust zijn op de huidige ruisgevoelige kwantumhardware. Door een Kraus-representatie af te leiden die geldig is voor willekeurige tijdstappen, bieden de auteurs een rigoureuze fundering voor het implementeren van deze protocollen zonder de strikte vereiste van infinitesimaal kleine tijdstappen, wat cruciaal is voor NISQ-apparaten met beperkte coherentietijden. De succesvolle voorbereiding van grondtoestanden voor tot 19 spins, gecombineerd met de effectiviteit van ZNE bij het terugwinnen van ruisvrije resultaten, suggereert dat dissipatieve protocollen een levensvatbare en robuuste benadering zijn voor grondtoestandvoorbereiding in het NISQ-tijdperk. De auteurs merken op dat hoewel een nauwkeurige schatting van spectrale parameters (gap en radius) gunstig is, het protocol nog steeds effectief blijft zolang de filterfunctiewaarden ongeveer aan de voorwaarden voldoen. Zij concluderen dat deze aanpak een veelbelovend alternatief biedt voor variationele methoden voor het voorbereiden van grondtoestanden van kwantumveeldeeltjels Hamiltoniaanse.