Bayesian Modelling of Nonstationary Extreme Values Using a Nonparametric Hawkes Process

기술 요약: 비모수적 호크스 과정을 이용한 비정상 극값의 베이지안 모델링

문제 제기
효과적인 리스크 관리는 특정 기간 내에 대규모 사건이 발생할 확률을 추정하는 것을 요구합니다. 전통적인 접근법은 종종 극값 이론 (EVT) 에 의존하며, 특히 임계값 $u$를 초과하는 초과값을 일반화 파레토 분포 (GPD) 를 사용하여 모델링하는 임계값 초과 (POT) 방법을 사용합니다. 그러나 표준 POT 방법은 정상성을 가정합니다. 즉, 초과 시점은 동질적인 포아송 과정을 따르고, 초과 크기는 단일 GPD 에서 독립적이고 동일하게 분포된 (i.i.d.) 표본으로 가정합니다.

실제 데이터, 예를 들어 금융 시장 지수 (S&P 500, VIX 등) 는 종종 이러한 가정을 위반합니다. 극단적 사건은 종종 군집화 (시간적 비정상성) 와 크기의 구조적 변화 (표지 비정상성) 를 나타냅니다. 예를 들어, 높은 변동성 기간에는 극단적 하락의 빈도가 더 높아질 뿐만 아니라 이러한 하락의 크기 또한 더 커질 수 있습니다. 기존 비모수적 베이지안 모델들은 종종 미래 예측에 필요한 조건부 강도의 명시적 모델링보다는 역사적 데이터의 사후 평활화에 초점을 맞추고 있습니다. 또한, 비정상성을 위한 모수적 확장들은 종종 시간에 따라 변하는 매개변수의 함수 형태에 대한 강력한 가정을 요구하여 과적합 또는 과소적합의 위험을 초래합니다.

방법론
저자들은 위계적 구조를 통해 시간과 표지 영역 모두의 비정상성을 해결하는 베이지안 표지 호크스 POT 모델을 제안합니다.

1. 초과 시점을 위한 비모수적 호크스 과정:

   • 동질적인 포아송 과정 대신, 초과 발생 시점은 자기 자극적 (self-exciting) 호크스 과정을 사용하여 모델링됩니다. 이는 조건부 강도 $\lambda(t | H_t)$가 사건 발생 후 증가하도록 하여 자연스럽게 시간적 군집화를 포착합니다.
   • 호크스 강도는 $\lambda(t | H_t) = \mu + \sum_{t_i < t} \kappa h(t - t_i)$로 정의되며, 여기서 $\mu$는 배경 강도, $\kappa$는 분기 비율, $h(\cdot)$는 유발 커널입니다.
   • 결정적으로, 유발 커널 $h(\cdot)$은 디리클레 과정 (DP) 혼합을 사용하여 비모수적으로 모델링됩니다. 구체적으로, $h(t)$는 혼합 분포 $G$가 디리클레 과정 사전분포를 따르는 로그정규 분포의 무한 혼합으로 표현됩니다. 이를 통해 모델은 고정된 모수적 형태를 부과하지 않고 데이터에서 직접 복잡한 자극 패턴 (예: 두꺼운 꼬리, 다중 모드) 을 학습할 수 있습니다.

2. 초과 크기를 위한 위계적 GPD:

   • 초과 크기 ($y_i$) 는 일반화 파레토 분포 (GPD) 를 사용하여 모델링됩니다.
   • 크기에서의 비정상성을 처리하기 위해 저자들은 호크스 과정의 잠재적 분기 구조를 활용합니다. 사건들은 배경 (외생) 사건 사이의 시간 간격에 기반하여 군집으로 그룹화됩니다.
   • 각 군집 $k$에 대해 GPD 척도 매개변수 $\sigma_k$에 위계적 모델이 적용됩니다: $\log \sigma_k = \log \sigma_0 + \tau_\sigma z_k$, 여기서 $z_k \sim N(0, 1)$입니다.
   • 모양 매개변수 $\xi$는 모든 군집에 걸쳐 전역적으로 공유됩니다. 이 "부분 풀링" 접근법은 군집 간에 정보를 공유하여 소수의 관측치를 가진 군집에서도 척도 매개변수의 정확한 추정을 가능하게 하면서, 꼬리 모양에 대한 안정적인 전역 추정을 유지합니다.

3. 사후 추론:

   • 결합 사후 분포에서 표본을 추출하기 위한 마코프 연쇄 몬테 카를로 (MCMC) 알고리즘이 개발되었습니다.
   • 이 알고리즘은 모듈식 분할을 사용합니다: 호크스 과정 매개변수 (잠재적 분기 변수 $B$ 포함) 는 초과 시점에 기반하여 업데이트되고, GPD 표지 매개변수는 현재 군집 구조에 조건부로 업데이트됩니다.
   • 비모수적 커널 $h(\cdot)$은 통합 위험 항에 대한 메트로폴리스 - 헤이스팅스 보정과 결합된 중국 식당 프로세스 (Chinese Restaurant Process) 샘플러를 사용하여 업데이트됩니다.
   • GPD 매개변수는 Stan 을 통한 해밀토니안 몬테 카를로 (HMC) 를 사용하여 업데이트됩니다.

주요 기여
본 논문은 세 가지 주요 기여를 합니다:

1. 예측 중심: 이전의 비모수적 베이지안 점 과정 모델들이 주로 역사적 데이터를 평활화하는 데 중점을 둔 것과 구별되어, 미래 임계값 초과를 예측하기 위해 특별히 설계된 표지 호크스 POT 모델을 개발합니다.
2. 비모수적 자극: 호크스 유발 커널에 디리클레 과정 혼합 사전분포를 도입하여, 특정 모수적 형태 (예: 지수함수) 를 가정하는 대신 데이터에서 유연하게 시간적 자극 패턴을 학습할 수 있게 합니다.
3. 위계적 표지 모델링: 호크스 과정의 잠재적 분기 구조를 위계적 GPD 표지 모델과 연결합니다. 이는 호크스에 의해 유발된 체제 간에 초과 크기의 척도가 변할 수 있게 하면서도 군집 간 정보를 공유하여, 작은 군집에 별도의 GPD 를 적합할 때 발생하는 불안정성을 피합니다.

결과
이 모델은 시뮬레이션 연구를 통해 평가되었으며, S&P 500 일간 로그 수익률, VIX 종가, Bradfield 풍속, RAND-MIPT 테러 데이터베이스 등 네 가지 실제 데이터셋에 적용되었습니다.

• 시뮬레이션 연구: 커널 유형과 표지 분포를 변화시키는 통제된 $2 \times 2$ 설계에서, 결과는 다음을 확인했습니다:

  • 지수 함수가 아닌 커널로 데이터가 생성되었을 때, DP-호크스 모델은 모수적 지수 - 호크스 모델보다 우수한 성능을 보였습니다.
  • 데이터가 군집별 표지 변이를 보일 때, 위계적 GPD 모델은 i.i.d. GPD 모델보다 우수한 성능을 보였습니다.
  • 데이터 생성 메커니즘이 추가적인 유연성을 요구하지 않을 때 (예: 진정한 지수 커널), 유연한 모델들은 거의 예측 패널티를 받지 않아 견고성을 입증했습니다.

• 실제 데이터 적용:

  • 네 가지 데이터셋 모두에서 전체 모델 (DP-호크스 커널 + 위계적 GPD 표지) 이 가장 좋은 홀드아웃 예측 로그 점수를 달성했습니다.
  • 비모수적 커널은 초과 시점 예측을 개선했고, 위계적 표지 모델은 초과 크기 예측을 개선했습니다.
  • 개선 효과는 금융 및 풍속 데이터에서 가장 두드러졌으며, 테러 데이터에서는 작지만 긍정적인 향상이 있었습니다.
  • 사후 예측 검사는 모델의 최대 미래 초과에 대한 예측 구간이 관측 데이터와 일치함을 보여주었으며, 예상대로 테러 데이터셋은 더 두꺼운 꼬리 (양의 $\xi$) 를 보여주었습니다.

의의 및 주장
저자들은 그들의 프레임워크가 표준 EVT 의 엄격한 정상성 가정을 성공적으로 완화하여 비정상 극단적 사건을 예측하는 더 현실적인 도구를 제공한다고 주장합니다. 그 의의는 호크스에 의해 유발된 군집화가 극단적 사건의 발생 시점을 예측할 뿐만 아니라 그 크기 변화를 모델링하는 데에도 유용하다는 것을 입증한 데 있습니다.

자기 자극적 점 과정과 위계적 극값 모델을 결합함으로써, 이 논문은 발생률과 사건의 심각성 모두 시간에 따라 변하는 예측을 위한 유망한 접근법을 제시합니다. 저자들은 겸손하게도 공유 - 모양 (shared-shape) 명세가 완전히 정상적인 모델과 완전히 지역적인 모델 사이의 절충안이지만, 작은 군집에서 꼬리 모양 추론에 필요한 안정성과 지역적 크기 변이를 포착해야 할 필요성 사이에서 효과적으로 균형을 잡는다고 언급합니다. 이 작업은 모든 비정상성 문제를 해결한다고 주장하지는 않지만, 시간에 따라 변하는 극값 매개변수에 대한 모수적 회귀 프레임워크에 대한 유연하고 데이터 중심적인 대안을 제시합니다.