Bayesian Modelling of Nonstationary Extreme Values Using a Nonparametric Hawkes Process

Resumo Técnico: Modelagem Bayesiana de Valores Extremos Não Estacionários Usando um Processo Hawkes Não Paramétrico

Enunciado do Problema
A gestão eficaz de riscos exige a estimativa da probabilidade de ocorrência de grandes eventos dentro de um período específico. Abordagens tradicionais frequentemente recorrem à Teoria dos Valores Extremos (EVT), especificamente ao método de Picos Acima do Limiar (POT), que modela excessos acima de um limiar $u$ usando uma Distribuição Pareto Generalizada (GPD). No entanto, os métodos POT padrão assumem estacionariedade: que os tempos de excesso seguem um processo de Poisson homogêneo e que as magnitudes dos excessos são amostras independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) de uma única GPD.

Dados do mundo real, como índices de mercados financeiros (por exemplo, S&P 500, VIX), frequentemente violam essas suposições. Eventos extremos frequentemente exibem agrupamento (não estacionariedade temporal) e mudanças estruturais na magnitude (não estacionariedade de marcas). Por exemplo, períodos de alta volatilidade podem apresentar tanto uma frequência maior de quedas extremas quanto magnitudes maiores dessas quedas. Modelos bayesianos não paramétricos existentes frequentemente focam no alisamento retrospectivo de dados históricos em vez de modelar explicitamente a intensidade condicional necessária para previsão futura. Além disso, extensões paramétricas para não estacionariedade frequentemente exigem suposições fortes sobre a forma funcional de parâmetros variantes no tempo, arriscando sobreajuste ou subajuste.

Metodologia
Os autores propõem um modelo POT Hawkes marcado bayesiano que aborda a não estacionariedade tanto no domínio do tempo quanto no domínio das marcas através de uma estrutura hierárquica.

1. Processo Hawkes Não Paramétrico para Tempos de Excesso:

   • Em vez de um processo de Poisson homogêneo, os tempos de ocorrência dos excessos são modelados usando um processo Hawkes autoexcitatório. Isso permite que a intensidade condicional $\lambda(t | H_t)$ aumente após um evento, capturando naturalmente o agrupamento temporal.
   • A intensidade Hawkes é definida como $\lambda(t | H_t) = \mu + \sum_{t_i < t} \kappa h(t - t_i)$, onde $\mu$ é a intensidade de fundo, $\kappa$ é a razão de ramificação e $h(\cdot)$ é o kernel de gatilho.
   • Crucialmente, o kernel de gatilho $h(\cdot)$ é modelado não parametricamente usando uma mistura de Processo de Dirichlet (DP). Especificamente, $h(t)$ é representada como uma mistura infinita de distribuições Lognormais, onde a distribuição de mistura $G$ segue uma priori de Processo de Dirichlet. Isso permite que o modelo aprenda padrões complexos de excitação (por exemplo, caudas pesadas, multimodalidade) diretamente dos dados sem impor uma forma paramétrica fixa.

2. GPD Hierárquica para Magnitudes de Excesso:

   • As magnitudes dos excessos ($y_i$) são modeladas usando a Distribuição Pareto Generalizada (GPD).
   • Para lidar com a não estacionariedade nas magnitudes, os autores utilizam a estrutura de ramificação latente do processo Hawkes. Os eventos são agrupados em clusters baseados nos intervalos de tempo entre eventos de fundo (exógenos).
   • Um modelo hierárquico é aplicado ao parâmetro de escala $\sigma_k$ da GPD para cada cluster $k$: $\log \sigma_k = \log \sigma_0 + \tau_\sigma z_k$, onde $z_k \sim N(0, 1)$.
   • O parâmetro de forma $\xi$ é compartilhado globalmente entre todos os clusters. Essa abordagem de "agrupamento parcial" permite que o modelo empreste força entre clusters, permitindo uma estimativa precisa do parâmetro de escala mesmo em clusters com poucas observações, enquanto mantém uma estimativa global estável para a forma da cauda.

3. Inferência Posterior:

   • Um algoritmo de Monte Carlo via Cadeias de Markov (MCMC) foi desenvolvido para amostrar a distribuição posterior conjunta.
   • O algoritmo utiliza uma fatorização modular: os parâmetros do processo Hawkes (incluindo as variáveis de ramificação latentes $B$) são atualizados com base nos tempos de excesso, e os parâmetros de marca da GPD são atualizados condicionados à estrutura de agrupamento atual.
   • O kernel não paramétrico $h(\cdot)$ é atualizado usando um amostrador de Processo Restaurante Chinês combinado com uma correção Metropolis–Hastings para o termo de risco integrado.
   • Os parâmetros da GPD são atualizados usando Monte Carlo Hamiltoniano (via Stan).

Contribuições Principais
O artigo faz três contribuições primárias:

1. Foco Preditivo: Desenvolve um modelo POT Hawkes marcado especificamente projetado para prever excessos futuros de limiar, distinguindo-se de modelos anteriores de processos pontuais bayesianos não paramétricos que principalmente alisam dados históricos.
2. Excitação Não Paramétrica: Introduz uma priori de mistura de Processo de Dirichlet para o kernel de gatilho Hawkes, permitindo que o padrão de excitação temporal seja aprendido flexivelmente a partir dos dados em vez de assumir uma forma paramétrica específica (por exemplo, exponencial).
3. Modelagem de Marca Hierárquica: Conecta a estrutura de ramificação latente do processo Hawkes a um modelo de marca GPD hierárquico. Isso permite que a escala das magnitudes de excesso varie entre regimes induzidos pelo Hawkes, enquanto compartilha informações entre clusters, evitando a instabilidade de ajustar GPDs separadas a clusters pequenos.

Resultados
O modelo foi avaliado através de um estudo de simulação e aplicado a quatro conjuntos de dados do mundo real: retornos logarítmicos diários do S&P 500, valores de fechamento do VIX, velocidades do vento de Bradfield e o banco de dados RAND-MIPT Terrorism.

• Estudo de Simulação: Em um desenho controlado $2 \times 2$ (variando tipo de kernel e distribuição de marca), os resultados confirmaram que:

  • Quando os dados foram gerados com um kernel não exponencial, o modelo DP-Hawkes superou o modelo Hawkes Exponencial paramétrico.
  • Quando os dados exibiram variação de marca específica do cluster, o modelo GPD hierárquico superou o modelo GPD i.i.d.
  • Quando o mecanismo gerador de dados não exigia a flexibilidade extra (por exemplo, kernel exponencial verdadeiro), os modelos flexíveis incorreram em pouca penalidade preditiva, demonstrando robustez.

• Aplicações a Dados Reais:

  • Em todos os quatro conjuntos de dados, o modelo completo (kernel DP-Hawkes + marcas GPD hierárquicas) alcançou as melhores pontuações logarítmicas preditivas fora da amostra.
  • O kernel não paramétrico melhorou a previsão dos tempos de excesso, enquanto o modelo de marca hierárquico melhorou a previsão das magnitudes de excesso.
  • A melhoria foi mais substancial para dados financeiros e de velocidade do vento, com ganhos menores, mas positivos, para dados de terrorismo.
  • Verificações preditivas posteriores mostraram que os intervalos preditivos do modelo para excessos futuros máximos foram consistentes com os dados observados, com o conjunto de dados de terrorismo mostrando uma cauda mais pesada ($\xi$ positivo) como esperado.

Significado e Afirmações
Os autores afirmam que seu quadro relaxa com sucesso as suposições de estacionariedade estrita da EVT padrão, fornecendo uma ferramenta mais realista para prever eventos extremos não estacionários. O significado reside na demonstração de que o agrupamento induzido por Hawkes é útil não apenas para prever o timing dos extremos, mas também para modelar mudanças em suas magnitudes.

Ao combinar processos pontuais autoexcitatórios com modelos de valores extremos hierárquicos, o artigo sugere uma abordagem promissora para previsão onde tanto a taxa de ocorrência quanto a severidade dos eventos variam ao longo do tempo. Os autores observam modestamente que, embora a especificação de forma compartilhada seja um compromisso entre modelos totalmente estacionários e totalmente locais, ela equilibra efetivamente a necessidade de capturar variações locais de magnitude com a estabilidade necessária para inferência da forma da cauda em clusters pequenos. O trabalho não afirma resolver todos os problemas de não estacionariedade, mas oferece uma alternativa flexível e orientada por dados aos quadros de regressão paramétrica para parâmetros de valores extremos variantes no tempo.