Bayesian Modelling of Nonstationary Extreme Values Using a Nonparametric Hawkes Process

技術的概要：ノンパラメトリック・ホークス過程を用いた非定常極値のベイズモデリング

問題提起
効果的なリスク管理には、特定の期間内に大規模事象が発生する確率を推定することが必要である。従来のアプローチは、しばしば極値理論（EVT）に依存しており、特に閾値 $u$ を超える事象を一般化パレート分布（GPD）を用いてモデル化する閾値超過（POT）法が用いられる。しかし、標準的な POT 法は定常性を前提としており、超過時刻は均一ポアソン過程に従い、超過量は単一の GPD から独立同分布（i.i.d.）で引き出されると仮定している。

現実世界のデータ、例えば金融市場指数（S&P 500、VIX など）は、しばしばこれらの仮定に反する。極端な事象は頻繁にクラスター化（時間的な非定常性）と大きさにおける構造的変化（マークの非定常性）を示す。例えば、高ボラティリティの期間では、極端な下落の頻度が高まるだけでなく、その下落の大きさも大きくなる傾向がある。既存のノンパラメトリック・ベイズモデルは、将来の予測に必要な条件付き強度の明示的なモデル化よりも、むしろ過去のデータの事後平滑化に焦点を当てることが多い。さらに、非定常性に対するパラメトリックな拡張は、時間変化するパラメータの関数形式に関する強い仮定を必要とし、過剰適合または過少適合のリスクを伴う。

手法
著者らは、階層構造を通じて時間領域とマーク領域の両方における非定常性に対処するベイズ的マーク付きホークス POT モデルを提案する。

1. 超過時刻のためのノンパラメトリック・ホークス過程:

   • 均一ポアソン過程の代わりに、超過の発生時刻は自己励起型ホークス過程を用いてモデル化される。これにより、事象発生後の条件付き強度 $\lambda(t | H_t)$ が増加し、時間的なクラスター化を自然に捉えることができる。
   • ホークス強度は $\lambda(t | H_t) = \mu + \sum_{t_i < t} \kappa h(t - t_i)$ と定義される。ここで、$\mu$ は背景強度、$\kappa$ は分岐率、$h(\cdot)$ はトリガリングカーネルである。
   • 重要なのは、トリガリングカーネル $h(\cdot)$ がディリクレ過程（DP）混合を用いてノンパラメトリックにモデル化される点である。具体的には、$h(t)$ は無限混合の対数正規分布として表現され、混合分布 $G$ はディリクレ過程の事前分布に従う。これにより、モデルは固定されたパラメトリック形式を課すことなく、データから直接複雑な励起パターン（例えば、重たい尾部や多峰性）を学習できる。

2. 超過大きさのための階層的 GPD:

   • 超過の大きさ（$y_i$）は、一般化パレート分布（GPD）を用いてモデル化される。
   • 大きさにおける非定常性を処理するため、著者らはホークス過程の潜在的分岐構造を利用する。事象は、背景（外生的）事象間の時間間隔に基づいてクラスターにグループ化される。
   • 各クラスター $k$ に対して、GPD の尺度パラメータ $\sigma_k$ に階層モデルが適用される：$\log \sigma_k = \log \sigma_0 + \tau_\sigma z_k$、ここで $z_k \sim N(0, 1)$ である。
   • 形状パラメータ $\xi$ は、すべてのクラスターにわたってグローバルに共有される。この「部分的なプーリング」アプローチにより、モデルはクラスター間で情報を共有し、観測数が少ないクラスターであっても尺度パラメータを正確に推定できると同時に、尾部の形状については安定したグローバル推定を維持できる。

3. 事後推論:

   • 結合事後分布からサンプリングするためのマルコフ連鎖モンテカルロ（MCMC）アルゴリズムが開発された。
   • アルゴリズムはモジュール化された因数分解を用いる：ホークス過程のパラメータ（潜在的分岐変数 $B$ を含む）は超過時刻に基づいて更新され、GPD マークのパラメータは現在のクラスター構造に条件付けて更新される。
   • ノンパラメトリック・カーネル $h(\cdot)$ は、中国語レストラン過程（CRP）サンプリングと、統合ハザード項に対するメトロポリス・ヘイスティングス補正を組み合わせて更新される。
   • GPD パラメータは、Hamiltonian Monte Carlo（Stan を通じて）を用いて更新される。

主要な貢献
本論文は、以下の 3 つの主要な貢献を行う：

1. 予測への焦点: 過去のデータを主に平滑化する従来のノンパラメトリック・ベイズ点過程モデルとは区別して、将来の閾値超過を予測するために特別に設計されたマーク付きホークス POT モデルを開発した。
2. ノンパラメトリックな励起: ホークス・トリガリングカーネルに対してディリクレ過程混合事前分布を導入し、時間的な励起パターンを特定のパラメトリック形式（例えば指数分布）を仮定するのではなく、データから柔軟に学習できるようにした。
3. 階層的マークモデル化: ホークス過程の潜在的分岐構造を階層的 GPD マークモデルと結びつけた。これにより、ホークス誘発のレジーム間で超過大きさの尺度を変化させつつ、クラスター間で情報を共有し、小さなクラスターに個別の GPD を当てはめることによる不安定性を回避できる。

結果
本モデルはシミュレーション研究を通じて評価され、4 つの現実世界のデータセット（S&P 500 の日次対数収益率、VIX の終値、Bradfield の風速、RAND-MIPT テロリズムデータベース）に適用された。

• シミュレーション研究: カーネルの種類とマーク分布を変化させた制御された $2 \times 2$ 設計において、結果は以下のことを確認した：

  • 非指数カーネルでデータが生成された場合、DP-ホークスモデルはパラメトリックな指数ホークスモデルよりも優れていた。
  • データがクラスター固有のマーク変動を示した場合、階層的 GPDモデルは i.i.d. GPD モデルよりも優れていた。
  • データ生成メカニズムが追加の柔軟性を必要としない場合（例えば、真の指数カーネルの場合）、柔軟なモデルはほとんど予測ペナルティを負わず、頑健性を示した。

• 実データへの適用:

  • 4 つのデータセットすべてにおいて、フルモデル（DP-ホークスカーネル＋階層的 GPD マーク）が、保持されたデータに対する最良の予測対数スコアを達成した。
  • ノンパラメトリック・カーネルは超過時刻の予測を改善し、階層的マークモデルは超過大きさの予測を改善した。
  • 改善は金融データと風速データで最も顕著であり、テロリズムデータでは小さかったが肯定的な改善が見られた。
  • 事後予測チェックにより、モデルの将来の最大超過に対する予測区間は観測データと一致しており、期待通りテロリズムデータセットはより重い尾部（正の $\xi$）を示した。

意義と主張
著者らは、自らの枠組みが標準的な EVT の厳密な定常性仮定を成功裡に緩和し、非定常な極端な事象の予測のためのより現実的なツールを提供すると主張する。その意義は、ホークス誘発のクラスター化が、極端な事象の発生時刻の予測だけでなく、その大きさの変化のモデル化にも有用であることを実証した点にある。

自己励起型点過程と階層的極値モデルを組み合わせることで、本論文は、発生率と事象の深刻さの両方が時間とともに変化する予測に対する有望なアプローチを提案している。著者らは控えめに、共有形状の仕様は完全に定常なモデルと完全に局所的なモデルの間の妥協点であるが、小さなクラスターにおける尾部形状の推論に必要な安定性を維持しつつ、局所的な大きさの変動を捉える必要性を効果的にバランスさせていると指摘している。この研究は、すべての非定常性の問題を解決するものではないと主張するのではなく、時間変化する極値パラメータに対するパラメトリック回帰枠組みに対する、柔軟でデータ駆動型の代替案を提供するものである。