Bayesian Modelling of Nonstationary Extreme Values Using a Nonparametric Hawkes Process

技术摘要：基于非参数 Hawkes 过程的平稳性极值贝叶斯建模

问题陈述
有效的风险管理需要估计在特定时间范围内发生重大事件发生的概率。传统方法通常依赖于极值理论（EVT），特别是超阈值（POT）方法，该方法使用广义帕累托分布（GPD）对超过阈值 $u$ 的超阈值事件进行建模。然而，标准的 POT 方法假设平稳性：即超阈值发生时间服从齐次泊松过程，且超阈值幅度是独立同分布（i.i.d.）的、从单一 GPD 中抽取的样本。

现实世界的数据（如金融市场指数，例如标普 500 指数、VIX 指数）往往违反这些假设。极端事件经常表现出聚集性（时间非平稳性）和幅度的结构性变化（标记非平稳性）。例如，高波动率时期可能同时出现极端下跌频率的增加和这些下跌幅度的增大。现有的非参数贝叶斯模型通常侧重于对历史数据的回顾性平滑，而非为未来预测显式建模所需的条件强度。此外，针对非平稳性的参数化扩展通常需要对时变参数的函数形式做出强假设，从而可能导致过拟合或欠拟合。

方法论
作者提出了一种贝叶斯标记 Hawkes POT 模型，通过分层结构同时解决时间和标记域中的非平稳性问题。

1. 用于超阈值时间的非参数 Hawkes 过程：

   • 超阈值的发生时间不再使用齐次泊松过程，而是使用自激 Hawkes 过程进行建模。这使得条件强度 $\lambda(t | H_t)$ 在事件发生后能够增加，从而自然地捕捉时间聚集性。
   • Hawkes 强度定义为 $\lambda(t | H_t) = \mu + \sum_{t_i < t} \kappa h(t - t_i)$，其中 $\mu$ 是背景强度，$\kappa$ 是分支比，$h(\cdot)$ 是触发核。
   • 关键在于，触发核 $h(\cdot)$ 使用狄利克雷过程（DP）混合进行非参数建模。具体而言，$h(t)$ 表示为对数正态分布的无限混合，其中混合分布 $G$ 遵循狄利克雷过程先验。这使得模型能够直接从数据中学习复杂的激发模式（例如重尾、多模态），而无需施加固定的参数形式。

2. 用于超阈值幅度的分层 GPD：

   • 超阈值幅度（$y_i$）使用广义帕累托分布（GPD）进行建模。
   • 为了处理幅度中的非平稳性，作者利用了 Hawkes 过程的潜在分支结构。事件根据背景（外生）事件之间的时间间隔被分组为簇。
   • 对每个簇 $k$ 的 GPD 尺度参数 $\sigma_k$ 应用分层模型：$\log \sigma_k = \log \sigma_0 + \tau_\sigma z_k$，其中 $z_k \sim N(0, 1)$。
   • 形状参数 $\xi$ 在所有簇之间全局共享。这种“部分池化”方法允许模型在不同簇之间借用强度，即使在观测值较少的簇中也能实现尺度参数的准确估计，同时保持尾部形状的全局稳定估计。

3. 后验推断：

   • 开发了一种马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）算法，用于从联合后验分布中进行采样。
   • 该算法采用模块化分解：Hawkes 过程参数（包括潜在分支变量 $B$）根据超阈值时间进行更新，而 GPD 标记参数则根据当前的聚类结构进行条件更新。
   • 非参数核 $h(\cdot)$ 使用中国餐馆过程采样器进行更新，并结合 Metropolis–Hastings 校正以处理积分风险项。
   • GPD 参数使用哈密顿蒙特卡洛（通过 Stan）进行更新。

主要贡献
本文做出了三项主要贡献：

1. 预测导向： 开发了一种专门用于预测未来阈值超阈值事件的标记 Hawkes POT 模型，以此区别于主要平滑历史数据的先前非参数贝叶斯点过程模型。
2. 非参数激发： 为 Hawkes 触发核引入了狄利克雷过程混合先验，使得时间激发模式能够从数据中灵活学习，而非假设特定的参数形式（例如指数形式）。
3. 分层标记建模： 将 Hawkes 过程的潜在分支结构与分层 GPD 标记模型联系起来。这使得超阈值幅度的尺度能够在 Hawkes 诱导的机制之间变化，同时在簇之间共享信息，避免了为小簇单独拟合 GPD 所带来的不稳定性。

结果
该模型通过模拟研究进行了评估，并应用于四个真实世界数据集：标普 500 日对数收益率、VIX 收盘价、Bradfield 风速以及 RAND-MIPT 恐怖主义数据库。

• 模拟研究： 在受控的 $2 \times 2$ 设计（变化核类型和标记分布）中，结果证实：

  • 当数据由非指数核生成时，DP-Hawkes 模型优于参数化指数 Hawkes 模型。
  • 当数据表现出簇特定的标记变化时，分层 GPD 模型优于独立同分布 GPD 模型。
  • 当数据生成机制不需要额外的灵活性时（例如真实的指数核），灵活模型仅产生微小的预测惩罚，证明了其鲁棒性。

• 真实数据应用：

  • 在所有四个数据集中，完整模型（DP-Hawkes 核 + 分层 GPD 标记）取得了最佳的保留样本预测对数得分。
  • 非参数核改进了超阈值时间的预测，而分层标记模型改进了超阈值幅度的预测。
  • 这种改进在金融和风速数据中最为显著，在恐怖主义数据中也有较小但积极的提升。
  • 后验预测检查表明，该模型对未来最大超额值的预测区间与观测数据一致，恐怖主义数据集显示出更重的尾部（正 $\xi$），符合预期。

意义与主张
作者声称，他们的框架成功放宽了标准 EVT 的严格平稳性假设，为预测非平稳极端事件提供了一种更现实的工具。其意义在于证明了Hawkes 诱导的聚集性不仅有助于预测极端事件的发生时间，还有助于建模其幅度的变化。

通过将自激点过程与分层极值模型相结合，本文提出了一种有前景的预测方法，适用于事件发生率和严重程度随时间变化的情况。作者谦逊地指出，虽然共享形状规范是介于完全平稳和完全局部模型之间的折衷方案，但它有效地平衡了捕捉局部幅度变化的需求与小簇尾部形状推断所需的稳定性。这项工作并未声称解决所有非平稳性问题，但为时变极值参数的参数化回归框架提供了一种灵活、数据驱动的替代方案。