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Bayesian Modelling of Nonstationary Extreme Values Using a Nonparametric Hawkes Process

यह शोध पत्र स्व-उत्तेजित क्लस्टरिंग पैटर्न और क्लस्टरों के बीच बदलते परिमाणों को पकड़कर गैर-स्थिर चरम घटनाओं का प्रभावी ढंग से पूर्वानुमान लगाने के लिए एक पदानुक्रमित सामान्यीकृत पारेटो वितरण (Generalised Pareto Distribution) के साथ युग्मित एक बेयसियन नॉनपैरामीट्रिक हॉक्स प्रक्रिया मॉडल प्रस्तावित करता है, जो सिम्युलेटेड और वास्तविक दुनिया के डेटा दोनों पर उत्कृष्ट भविष्य कहनेवाला प्रदर्शन प्रदर्शित करता है।

मूल लेखक: Gordon J. Ross, Dean Markwick

प्रकाशित 2026-05-06

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Gordon J. Ross, Dean Markwick

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप यह भविष्यवाणी करने की कोशिश कर रहे हैं कि अगला "बड़ा तूफान" कब आएगा। डेटा की दुनिया में, ये तूफान चरम घटनाएँ (extreme events) हैं: शेयर बाजार में अचानक गिरावट, एक बड़ा भूकंप, या आतंकवाद के घातक मामलों में उछाल।

लंबे समय तक, सांख्यिकीविदों (statisticians) ने इन तूफानों की भविष्यवाणी करने के लिए एक बहुत ही कठोर नियम पुस्तिका का उपयोग करने की कोशिश की। उन्होंने माना कि तूफान एक स्थिर, अनुमानित गति से होते हैं (जैसे हल्की बूंदाबांदी में बारिश होती है) और हर तूफान लगभग एक ही आकार का होता है। लेकिन जैसा कि इस शोध पत्र के लेखक बताते हैं, वास्तविक जीवन इस तरह काम नहीं करता। तूफान अक्सर समूहों (clusters) में आते हैं (भारी बारिश का एक अचानक दौर और फिर सूखा), और तूफानों का आकार मौसम या वर्तमान स्थिति के आधार पर बदल सकता है।

यह शोध पत्र इन अराजक घटनाओं को मॉडल करने का एक नया, अधिक स्मार्ट तरीका पेश करता है। इसे एक साधारण पवन चक्की (weather vane) से अपग्रेड करके एक परिष्कृत, स्व-शिक्षण (self-learning) मौसम रडार के रूप में समझें।

यहाँ बताया गया है कि उनका नया सिस्टम कैसे काम करता है, जिसे सरल अवधारणाओं में विभाजित किया गया है:

1. "स्व-उत्तेजक" अलार्म घड़ी (हॉक्स प्रक्रिया - The Hawkes Process)

पारंपरिक मॉडल घटनाओं को स्वतंत्र मानते हैं। यदि आज शेयर बाजार गिरता है, तो एक पारंपरिक मॉडल सोच सकता है, "ठीक है, यह हो गया। कल गिरने की संभावना केवल औसत संभावना है।"

लेखक एक हॉक्स प्रक्रिया (Hawkes Process) का उपयोग करते हैं। एक कमरे में लोगों के समूह की कल्पना करें। यदि एक व्यक्ति छींकता है, तो यह दूसरों को भी छींकने के लिए प्रेरित कर सकता है। यदि दूसरा व्यक्ति छींकता है, तो यह एक पूरी श्रृंखला प्रतिक्रिया (chain reaction) शुरू कर सकता है।

रूपक (Metaphor): एक भूकंप के बारे में सोचें। जब जमीन हिलती है (एक घटना), तो यह जमीन को अस्थिर कर देती है, जिससे जल्द ही एक आफ्टरशॉक (एक और घटना) होने की संभावना बढ़ जाती है।
नवाचार (Innovation): लेखकों ने महसूस किया कि चरम घटनाएँ अक्सर इसी तरह व्यवहार करती हैं—एक छींक की श्रृंखला प्रतिक्रिया की तरह। उन्होंने एक ऐसा मॉडल बनाया जहाँ एक चरम घटना सिस्टम को "उत्तेजित" करती है, जिससे तुरंत बाद दूसरी चरम घटना होने की संभावना बढ़ जाती है। यही कारण है कि शेयर बाजार के बुरे दिन अक्सर समूहों (clusters) में आते हैं।

2. आकार बदलने वाला ट्रिगर (नॉनपैरामीट्रिक कर्नेल - The Nonparametric Kernel)

पुराने "छींक" मॉडल में, आपको यह अनुमान लगाना पड़ता था कि छींक कैसे फैलती है। क्या यह 5 मिनट तक रहती है? 1 घंटा? आपको एक निश्चित आकार (जैसे बेल कर्व) चुनना पड़ता था और उम्मीद करनी पड़ती थी कि वह सही हो। यदि आपने गलत आकार चुना, तो आपकी भविष्यवाणियाँ गलत हो सकती थीं।

लेखक कहते हैं, "अनुमान क्यों लगाएं? डेटा को आकार बताने दें।"

रूपक: छींक को पहले से बने "कुकी कटर" (cookie cutter) में फिट करने के बजाय, वे ढलने वाली मिट्टी (moldable clay) के दृष्टिकोण का उपयोग करते हैं (जिसे डिरिचलेट प्रोसेस कहा जाता है)। वे डेटा को स्वयं "उत्तेजना" के आकार को गढ़ने देते हैं।
परिणाम: यदि डेटा दिखाता है कि घटनाएँ कुछ घंटों के लिए कसकर क्लस्टर होती हैं और फिर फीकी पड़ जाती हैं, तो मॉडल उस आकार को सीख लेता है। यदि वे दिनों तक क्लस्टर होती हैं, तो मॉडल उसे भी सीख लेता है। यह बिना किसी पूर्व धारणा के अजीब और अप्रत्याशित पैटर्न को संभालने के लिए पर्याप्त लचीला है।

3. "टीम-आधारित" तूफान के आकार (हायरार्किकल GPD मार्क्स - Hierarchical GPD Marks)

एक बार जब मॉडल जान लेता है कि तूफान कब होने की संभावना है, तो उसे यह अनुमान लगाने की आवश्यकता होती है कि वह कितना बड़ा होगा।

समस्या: पुराने दिनों में, सांख्यिकीविद मानते थे कि हर तूफान, चाहे वह शांत वर्ष में हुआ हो या अराजक वर्ष में, एक ही "आकारों के थैले" से आता है।
नवाचार: लेखकों ने महसूस किया कि एक "क्लस्टर" (एक अराजक सप्ताह) में होने वाली घटनाएं एक "शांत" सप्ताह की तुलना में बड़ी हो सकती हैं। हालाँकि, कुछ क्लस्टर इतने छोटे होते हैं कि उनके पास आकार का सटीक अनुमान लगाने के लिए पर्याप्त डेटा नहीं होता है।
रूपक: एक स्पोर्ट्स लीग की कल्पना करें। यदि आपके पास केवल 3 खिलाड़ियों वाली टीम है, तो आप वास्तव में उनकी कुशलता नहीं बता सकते। लेकिन यदि आप लीग की सभी टीमों को देखते हैं, तो आप कौशल स्तर का एक सामान्य विचार प्राप्त कर सकते हैं।
- लेखक एक हायरार्किकल मॉडल का उपयोग करते हैं। वे प्रत्येक "क्लस्टर" को अपना औसत आकार (scale) रखने देते हैं, लेकिन वे इन सभी क्लस्टरों को एक समान "टेल शेप" (सबसे खराब परिदृश्यों के होने का तरीका) साझा करने के लिए मजबूर करते हैं।
- यह मॉडल को यह कहने की अनुमति देता है, "यह विशिष्ट क्लस्टर आमतौर पर औसत से बड़ा है," जबकि पूरे डेटासेट से शक्ति उधार लेकर यह सुनिश्चित करता है कि सबसे खराब संभावित घटना के लिए भविष्यवाणी सटीक हो।

4. सबको एक साथ जोड़ना: भविष्यवाणी मशीन (The Prediction Machine)

लेखकों ने इन तीनों विचारों को एक एकल "बायेसियन" (Bayesian) मॉडल में संयोजित किया। उन्होंने परीक्षण के लिए चार बहुत अलग वास्तविक दुनिया के डेटासेट का उपयोग किया:

शेयर बाजार (S&P 500): मूल्य में भारी गिरावट की तलाश।
बाजार अस्थिरता (VIX): डर के उछाल की तलाश।
हवा की गति: तूफान जैसी तेज हवाओं के झोंकों की तलाश।
आतंकवाद: उच्च मृत्यु दर वाले दिनों की तलाश।

परिणाम:
जब उन्होंने अपने नए "लचीले मिट्टी वाले" मॉडल का परीक्षण पुराने "कठोर कुकी कटर" मॉडलों के विरुद्ध किया, तो नया मॉडल हर बार जीत गया।

यह बेहतर ढंग से भविष्यवाणी करने में सक्षम था कि अगली चरम घटना कब होगी क्योंकि यह समझता है कि घटनाएँ समूहों में आती हैं।
यह बेहतर ढंग से भविष्यवाणी करने में सक्षम था कि वे घटनाएँ कितनी बड़ी होंगी क्योंकि यह समझता है कि घटना का आकार वर्तमान अराजकता या क्लस्टर पर निर्भर करता है।

सारांश

यह शोध पत्र तर्क देता है कि दुर्लभ, खतरनाक घटनाओं की भविष्यवाणी करने के लिए, हमें दुनिया को शांत और अनुमानित मानने से बचना होगा। इसके बजाय, हमें एक ऐसे मॉडल की आवश्यकता है जो समझ सके:

घटनाएं अन्य घटनाओं को ट्रिगर करती हैं (क्लस्टरिंग)।
ट्रिगर करने के नियम बदलते रहते हैं (लचीले आकार)।
घटना का आकार वर्तमान अराजकता पर निर्भर करता है (हायरार्किकल आकार)।

इस दृष्टिकोण का उपयोग करके, लेखकों ने एक ऐसा उपकरण बनाया है जो वित्त, प्रकृति और सुरक्षा में अगली "बड़ी तूफान" की भविष्यवाणी करने में काफी बेहतर है, और इसके लिए उन्हें यह अनुमान लगाने की आवश्यकता नहीं है कि दुनिया कैसे काम करती है।

तकनीकी सारांश: एक नॉनपैरामेट्रिक हॉक्स प्रक्रिया का उपयोग करके नॉनस्टेशनरी एक्सट्रीम वैल्यूज का बेयसियन मॉडलिंग

समस्या विवरण
प्रभावी जोखिम प्रबंधन के लिए एक विशिष्ट समय सीमा के भीतर बड़ी घटनाओं के घटित होने की संभावना का अनुमान लगाना आवश्यक है। पारंपरिक दृष्टिकोण अक्सर एक्सट्रीम वैल्यू थ्योरी (EVT) पर निर्भर करते हैं, विशेष रूप से पीक्स-ओवर-थ्रेशोल्ड (POT) विधि पर, जो एक थ्रेशोल्ड $u$ के ऊपर की अतिरेक (exceedances) को जनरल पैरामेडिक डिस्ट्रिब्यूशन (GPD) का उपयोग करके मॉडल करती है। हालाँकि, मानक POT विधियाँ स्टेशनैरिटी (stationarity) मानती हैं: कि अतिरेक का समय एक होमोजेनियस पॉइसन प्रोसेस का अनुसरण करता है और अतिरेक का परिमाण (magnitude) एक एकल GPD से स्वतंत्र और समान रूप से वितरित (i.i.d.) ड्रॉ होता है।

वास्तविक दुनिया का डेटा, जैसे कि वित्तीय बाजार सूचकांक (जैसे, S&P 500, VIX), अक्सर इन धारणाओं का उल्लंघन करता है। चरम घटनाएँ अक्सर क्लस्टरिंग (टेम्पोरल नॉनस्टेशनैरिटी) और परिमाण में संरचनात्मक परिवर्तन (मार्क नॉनस्टेशनैरिटी) प्रदर्शित करती हैं। उदाहरण के लिए, उच्च अस्थिरता के दौर में न केवल चरम गिरावट की आवृत्ति अधिक हो सकती है, बल्कि उन गिरावटों का परिमाण भी बड़ा हो सकता है। मौजूदा नॉनपैरामेट्रिक बेयसियन मॉडल अक्सर भविष्य के पूर्वानुमान के लिए आवश्यक कंडीशनल इंटेंसिटी के स्पष्ट मॉडलिंग के बजाय ऐतिहासिक डेटा के रेट्रोस्पेक्टिव स्मूथिंग पर ध्यान केंद्रित करते हैं। इसके अलावा, नॉनस्टेशनैरिटी के लिए पैरामेट्रिक विस्तारों को कार्यात्मक रूप (functional form) के बारे में कड़े अनुमानों की आवश्यकता होती है, जिससे ओवर-फिटिंग या अंडर-फिटिंग का जोखिम रहता है।

कार्यप्रणाली
लेखक एक बेयसियन मार्क्ड हॉक्स POT मॉडल प्रस्तावित करते हैं जो एक पदानुक्रमित (hierarchical) संरचना के माध्यम से समय और मार्क डोमेन दोनों में नॉनस्टेशनैरिटी को संबोधित करता है।

अतिरेक के समय के लिए नॉनपैरामेट्रिक हॉक्स प्रोसेस:
- होमोजेनियस पॉइसन प्रोसेस के बजाय, अतिरेक के आगमन समय को एक सेल्फ-एक्साइटिंग हॉक्स प्रोसेस का उपयोग करके मॉडल किया जाता है। यह अनुमति देता है कि एक घटना के बाद कंडीशनल इंटेंसिटी $\lambda(t | H_t)$ बढ़ जाए, जो स्वाभाविक रूप से टेम्पोरल क्लस्टरिंग को कैप्चर करता है।
- हॉक्स इंटेंसिटी को $\lambda(t | H_t) = \mu + \sum_{t_i < t} \kappa h(t - t_i)$ के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ $\mu$ बैकग्राउंड इंटेंसिटी है, $\kappa$ ब्रांचिंग रेशियो है, और $h(\cdot)$ ट्रिगरिंग कर्नेल है।
- महत्वपूर्ण रूप से, ट्रिगरिंग कर्नेल $h(\cdot)$ को डायरेक्ट प्रोसेस (DP) मिश्रण का उपयोग करके नॉनपैरामेट्रिकली मॉडल किया गया है। विशेष रूप से, $h(t)$ को लॉग-नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशंस के एक अनंत मिश्रण के रूप में दर्शाया गया है, जहाँ मिक्सिंग डिस्ट्रीब्यूशन $G$ एक डायरेक्ट प्रोसेस प्रायर का अनुसरण करता है। यह मॉडल को एक निश्चित पैरामेट्रिक रूप थोपे बिना, डेटा से सीधे जटिल एक्साइटेशन पैटर्न (जैसे, हेवी टेल्स, मल्टीमोडैलिटी) सीखने की अनुमति देता है।
अतिरेक के परिमाण के लिए पदानुक्रमित GPD:
- अतिरेक के परिमाण ( $y_i$ ) को जनरल पैरामेडिक डिस्ट्रिब्यूशन (GPD) का उपयोग करके मॉडल किया जाता है।
- परिमाण में नॉनस्टेशनैरिटी को संभालने के लिए, लेखक हॉक्स प्रोसेस के लेटेंट ब्रांचिंग स्ट्रक्चर का उपयोग करते हैं। घटनाओं को बैकग्राउंड (एक्सोजेनस) घटनाओं के बीच के समय अंतराल के आधार पर क्लस्टर्स में समूहीकृत किया जाता है।
- प्रत्येक क्लस्टर $k$ के लिए GPD स्केल पैरामीटर $\sigma_k$ पर एक पदानुक्रमित मॉडल लागू किया जाता है: $\log \sigma_k = \log \sigma_0 + \tau_\sigma z_k$ , जहाँ $z_k \sim N(0, 1)$ ।
- शेप पैरामीटर $\xi$ सभी क्लस्टर्स के लिए साझा (shared) है। यह "पार्शियल पूलिंग" दृष्टिकोण मॉडल को क्लस्टर्स के बीच सूचना साझा करने की अनुमति देता है, जिससे कम अवलोकनों वाले क्लस्टर्स में भी सटीक स्केल पैरामीटर का अनुमान लगाना संभव होता है, जबकि टेल शेप के लिए एक स्थिर वैश्विक अनुमान बनाए रखता है।
पोस्टीरियर इन्फरेंस:
- एक मार्कोव चेन मोंटे कार्लो (MCMC) एल्गोरिदम को संयुक्त पोस्टीरियर डिस्ट्रीब्यूशन से सैंपल करने के लिए विकसित किया गया है।
- एल्गोरिदम एक मॉड्यूलर फैक्टराइजेशन का उपयोग करता है: हॉक्स प्रोसेस पैरामीटर्स (लेटेन्ट ब्रांचिंग वेरिएबल्स $B$ सहित) को अतिरेक के समय के आधार पर अपडेट किया जाता है, और GPD मार्क पैरामीटर्स को वर्तमान क्लस्टरिंग स्ट्रक्चर के आधार पर अपडेट किया जाता है।
- नॉनपैरामेट्रिक कर्नेल $h(\cdot)$ को इंटीग्रेटेड हैजर्ड टर्म के लिए चाइनीज रेस्टोरेंट प्रोसेस सैंपलर और मेट्रोपोलिस-हैस्टिंग्स करेक्शन का उपयोग करके अपडेट किया जाता है।
- GPD पैरामीटर्स को हैमिल्टोनियन मोंटे कार्लो (Stan के माध्यम से) का उपयोग करके अपडेट किया जाता है।

प्रमुख योगदान
पेपर के तीन प्राथमिक योगदान हैं:

पूर्वानुमान पर ध्यान (Predictive Focus): यह एक मार्क्ड हॉक्स POT मॉडल विकसित करता है जो विशेष रूप से भविष्य के थ्रेशोल्ड अतिरेक के पूर्वानुमान (forecasting) के लिए डिज़ाइन किया गया है, जो इसे पिछले नॉनपैरामेट्रिक बेयसियन पॉइंट प्रोसेस मॉडल से अलग करता है जो मुख्य रूप से ऐतिहासिक डेटा को स्मूथ करते हैं।
नॉनपैरामेट्रिक एक्साइटेशन: यह हॉक्स ट्रिगरिंग कर्नेल के लिए एक डायरेक्ट प्रोसेस मिश्रण प्रायर पेश करता है, जिससे एक विशिष्ट पैरामेट्रिक रूप (जैसे, एक्सपोनेंशियल) मानने के बजाय डेटा से फ्लेक्सिबल एक्साइटेशन पैटर्न सीखा जा सकता है।
पदानुक्रमित मार्क मॉडलिंग: यह हॉक्स प्रोसेस के लेटेंट ब्रांचिंग स्ट्रक्चर को एक पदानुक्रमित GPD मार्क मॉडल से जोड़ता है। यह मॉडल को हॉक्स-प्रेरित व्यवस्थाओं (regimes) के माध्यम से अतिरेक के परिमाण के स्केल को बदलने की अनुमति देता है, जबकि क्लस्टर्स के बीच सूचना साझा करता है, जिससे छोटे क्लस्टर्स में अलग-अलग GPD फिट करने की अस्थिरता से बचा जा सके।

परिणाम
मॉडल का मूल्यांकन एक सिमुलेशन अध्ययन के माध्यम से किया गया और इसे चार वास्तविक दुनिया के डेटासेट पर लागू किया गया: S&P 500 डेली लॉग रिटर्न्स, VIX क्लोजिंग वैल्यूज, ब्रैडफील्ड विंड स्पीड्स, और RAND-MIPT टेररिज्म डेटाबेस।

सिमुलेशन अध्ययन: एक नियंत्रित $2 \times 2$ डिज़ाइन (विभिन्न कर्नेल प्रकार और मार्क डिस्ट्रीब्यूशन) में, परिणामों ने पुष्टि की कि:
- जब डेटा एक नॉन-एक्सपोनेंशियल कर्नेल के साथ जेनरेट किया गया था, तो DP-Hawkes मॉडल ने पैरामेट्रिक एक्सपोनेंशियल-हॉक्स मॉडल से बेहतर प्रदर्शन किया।
- जब डेटा में क्लस्टर-विशिष्ट मार्क वेरिएशन था, तो पदानुक्रमित GPD मॉडल ने i.i.d. GPD मॉडल से बेहतर प्रदर्शन किया।
- जब डेटा-जेनरेटिंग मैकेनिज्म को अतिरिक्त फ्लेक्सिबिलिटी की आवश्यकता नहीं थी (जैसे, वास्तविक एक्सपोनेंशियल कर्नेल), तो फ्लेक्सिबल मॉडल्स ने बहुत कम प्रेडिक्टिव पेनल्टी झेली, जो उनकी मजबूती (robustness) को दर्शाता है।
वास्तविक डेटा अनुप्रयोग:
- इन चारों डेटासेट्स में, फुल मॉडल (DP-Hawkes कर्नेल + Hierarchical GPD मार्क्स) ने सर्वश्रेष्ठ होल्ड-आउट प्रेडिक्टिव लॉग स्कोर प्राप्त किए।
- नॉनपैरामेट्रिक कर्नेल ने अतिरेक के समय के पूर्वानुमान में सुधार किया, जबकि पदानुक्रमित मार्क मॉडल ने अतिरेक के परिमाण के पूर्वानुमान में सुधार किया।
- सुधार वित्तीय और विंड स्पीड डेटा के लिए सबसे अधिक महत्वपूर्ण था, जबकि टेररिज्म डेटा के लिए मामूली लेकिन सकारात्मक लाभ देखा गया।
- पोस्टीरियर प्रेडिक्टिव चेक से पता चला कि मॉडल के प्रेडिक्टिव इंटरवल्स भविष्य के अधिकतम अतिरेक के लिए सुसंगत थे, जिसमें टेररिज्म डेटासेट ने अपेक्षित रूप से एक हेवी टेल (पॉजिटिव $\xi$ ) दिखाई।

महत्व और दावे
लेखक दावा करते हैं कि उनका फ्रेमवर्क सफलतापूर्वक मानक EVT की सख्त स्टेशनैरिटी धारणाओं को शिथिल करता है, जो नॉनस्टेशनरी एक्सट्रीम इवेंट्स के पूर्वानुमान के लिए एक अधिक यथार्थवादी उपकरण प्रदान करता है। इसका महत्व इस बात के प्रदर्शन में निहित है कि हॉक्स-प्रेरित क्लस्टरिंग न केवल चरम घटनाओं के समय के पूर्वानुमान के लिए उपयोगी है, बल्कि उनके परिमाण में परिवर्तनों को मॉडल करने के लिए भी उपयोगी है।

सेल्फ-एक्साइटिंग पॉइंट प्रोसेस को पदानुक्रमित एक्सट्रीम वैल्यू मॉडल्स के साथ जोड़कर, पेपर यह सुझाव देता है कि यह उन स्थितियों के पूर्वानुमान के लिए एक आशाजनक दृष्टिकोण है जहाँ घटनाओं की दर और उनकी गंभीरता दोनों समय के साथ बदलती हैं। लेखक विनम्रतापूर्वक नोट करते हैं कि हालांकि साझा-शेप (shared-shape) विनिर्देश पूरी तरह से स्टेशनरी और पूरी तरह से लोकल मॉडल्स के बीच एक समझौता है, यह स्थानीय परिमाण विविधताओं को कैप्चर करने और छोटे क्लस्टर्स के लिए आवश्यक स्थिरता बनाए रखने के बीच प्रभावी ढंग से संतुलन बनाता है। यह कार्य सभी नॉनस्टेशनैरिटी मुद्दों को हल करने का दावा नहीं करता है, बल्कि समय-परिवर्तनीय एक्सट्रीम वैल्यू पैरामीटर्स के लिए एक फ्लेक्सिबल, डेटा-संचालित विकल्प प्रदान करता है।

1. "स्व-उत्तेजक" अलार्म घड़ी (हॉक्स प्रक्रिया - The Hawkes Process)

2. आकार बदलने वाला ट्रिगर (नॉनपैरामीट्रिक कर्नेल - The Nonparametric Kernel)

3. "टीम-आधारित" तूफान के आकार (हायरार्किकल GPD मार्क्स - Hierarchical GPD Marks)

4. सबको एक साथ जोड़ना: भविष्यवाणी मशीन (The Prediction Machine)

सारांश

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