Proximal Gradient-based Low Rank Tensor Decomposition for State Dependent Riccati Equation

기술 요약: 상태 의존적 리카티 방정식을 위한 근사 경사 기반 저랭크 텐서 분해

문제 제기
본 논문은 편미분 방정식 (PDE) 에서 비롯되어 대규모 이산 차원 제어 시스템을 초래하는 최적 제어 문제를 다룬다. 비선형 제어 피드백 전략을 찾는 표준 접근법은 해밀턴 - 자코비 - 벨만 (HJB) 방정식을 푸는 것이지만, 이는 고차원 시스템에서 계산적으로 불가능하다. 상태 의존적 리카티 방정식 (SDRE) 은 비선형 제어 피드백을 구성하기 위한 대안적 형식을 제공하지만, 풀오더 모델에 대한 SDRE 를 푸는 것은 여전히 비용이 많이 들며, 계산 복잡도는 $O(N_t N_x^3)$이다. 여기서 $N_t$는 시간 단계 수이고 $N_x$는 상태 차원이다. 저자들은 안정성을 유지하면서 SDRE 의 효율적인 해를 가능하게 하기 위해 이러한 제어 시스템의 차수를 축소하는 방법을 제안한다.

방법론
제안된 접근법은 시스템의 해 프로파일 스냅샷 데이터로부터 축소 차수 모델 (ROM) 을 유도하기 위해 텐서 계산을 활용한다. 방법론은 다음 단계를 거쳐 진행된다:

1. 텐서 데이터 구성: 저자들은 다양한 제어 매개변수 하에서 제어되지 않은 상태 역학 (구체적으로 앨런 - 칸 방정식) 의 해 프로파일로부터 3 차 텐서 데이터셋을 구성한다. 텐서 차원은 공간 이산화, 시간 이산화, 그리고 제어 매개변수 값에 해당한다.
2. 저랭크 텐서 분해: 차원 축소를 위해 저자들은 텐서 데이터를 근사하기 위해 정준 다항식 (CP) 분해를 사용한다. 목표는 저랭크 표현 $T \approx \sum_{r=1}^R \alpha_r x_r \circ y_r \circ z_r$을 찾는 것이다.
3. 랭크 결정 위한 희소 최적화: 방법의 핵심 구성 요소는 최적 텐서 랭크 $R$을 결정하기 위해 희소성을 위한 근사 경사 (PGS) 방법을 사용하는 것이다. 이는 계수 $\alpha$에 대한 $\ell_1$-노름 정규화 항을 더한 재구성 오차를 최소화하는 희소 최적화 문제로 형식화된다. 이를 해결하기 위해 저자들은 매개변수 조정을 실용적으로 처리하기 위해 $\ell_1$ 페널티를 $\ell_2$ 페널티의 시퀀스로 대체하면서 근사 경사 접근법과 골럽 - 카한 이대각화를 결합한 유연한 하이브리드 방법을 활용한다.
4. 축소 차수 모델 (ROM) 구성: 랭크 $R$이 식별되면, 인자 행렬 ($X, Y, Z$) 은 교대 최소제곱 (ALS) 알고리즘을 사용하여 정제된다. 축소된 상태 역학은 인자 행렬의 곱의 왼쪽 특이벡터가 생성하는 부분 공간으로 풀오더 시스템을 투영함으로써 유도된다. 이는 축소된 행렬 $A_{red}$와 $B_{red}$를 산출한다.
5. 제어 합성: 축소된 차수 최적 제어 문제는 SDRE 프레임워크를 사용하여 해결된다. 축소된 시스템의 차원이 풀 시스템보다 훨씬 작기 때문에, SDRE 는 각 시간 단계에서 효율적으로 풀 수 있다.

주요 기여
본 논문은 세 가지 주요 기여를 제시한다:

• 제어 데이터에 대한 근사 경사 적용: 저자들은 유연한 하이브리드 방법을 사용하여 정규화를 수행하며, 비선형 제어 데이터셋에 근사 경사 방법을 적용하여 날카로운 텐서 랭크를 결정한다.
• 랭크에 의해 지시된 차원 축소: 결정된 텐서 랭크 $R$은 상태 시스템의 축소된 차수 차원을 직접 지시하여, 축소가 휴리스틱이 아닌 데이터 기반임을 보장한다.
• 안정화 제어 피드백: 이 방법은 상태 역학을 안정화할 수 있는 제어 피드백을 구성하기 위해 축소된 기저 요소를 찾는 알고리즘을 생성한다.

수치적 결과
저자들은 풀오더 차원 $d=101$인 앨런 - 칸 방정식에서 이 방법을 테스트했다.

• 랭크 결정: PGS 알고리즘은 상태 차원보다 훨씬 작은 $R=2$의 텐서 랭크를 식별했다.
• 안정화 속도: 수치 실험에서 PGS-축소 모델에서 유도된 제어 피드백은 풀 모델이나 ALS 만을 사용하는 모델에서 유도된 것보다 0 으로 더 빠르게 수렴했다. 구체적으로, PGS-제어 상태는 $t=0.1531$에서 수렴한 반면, 다른 역학은 아직 수렴하지 않았다.
• 계산 효율성: PGS 를 사용하는 축소 모델의 상대 CPU 시간은 풀 모델 비용 ($J_{full}$) 의 약 $1.965 \times 10^{-29}$였다. 랭크를 결정하는 오프라인 비용이 있지만, 축소된 SDRE 의 온라인 계산 복잡도는 $O(N_t N_x^3)$에서 축소 시스템이 안정화되는 데 필요한 시간 단계 $n_t$에 대한 $O(n_t R^3)$로 감소한다.

의의 및 주장
본 논문은 제안된 방법이 대규모 최적 제어 문제에 상당한 장점을 제공한다고 주장한다:

• 빠른 안정화: 근사된 제어 피드백은 제어 시스템의 빠른 안정화를 보인다.
• 계산 절감: 온라인 계산 복잡도는 표준 상태 의존적 리카티 방정식보다 현저히 낮다.
• 비용 효율성: 축소 모델로부터의 제어 피드백과 관련된 목적 비용 함수는 풀 모델 비용의 작은 분수이다.
• 구현 용이성: 텐서 데이터 구조는 해 프로파일의 전단면 (frontal slices) 에서 쉽게 구성되므로, 이 접근법은 구현에 실용적이다.

저자들은 CP 분해와 근사 경사 희소성 및 골럽 - 카한 이대각화를 결합함으로써 상태 차원 축소를 지시하는 저랭크를 효과적으로 추정할 수 있으며, 이는 빠른 제어 피드백 안정화와 막대한 계산 절감으로 이어진다고 결론지었다.