Proximal Gradient-based Low Rank Tensor Decomposition for State Dependent Riccati Equation

技术摘要：基于近端梯度的状态依赖黎卡提方程低秩张量分解

问题陈述
本文探讨了由偏微分方程（PDE）引发的最优控制问题，这些问题导致了大规模离散维度的控制系统。寻找非线性控制反馈策略的标准方法涉及求解哈密顿 - 雅可比 - 贝尔曼（HJB）方程，但对于高维系统而言，其计算成本过高。虽然状态依赖黎卡提方程（SDRE）提供了一种构建非线性控制反馈的替代公式，但针对全阶模型求解 SDRE 仍然代价高昂，其计算复杂度为 $O(N_t N_x^3)$，其中 $N_t$ 是时间步数，$N_x$ 是状态维度。作者提出了一种方法，旨在降低这些控制系统的阶数，以便在保持稳定性的同时高效求解 SDRE。

方法论
所提出的方法利用张量计算，从系统解剖面的快照数据中导出降阶模型（ROMs）。该方法按以下阶段进行：

1. 张量数据构建：作者从各种控制参数下的未控状态动力学（具体为 Allen-Cahn 方程）的解剖面中构建了一个三阶张量数据集。张量的维度分别对应空间离散化、时间离散化和控制参数值。
2. 低秩张量分解：为了降低维度，作者采用典型多线性（CP）分解来近似张量数据。目标是寻找一个低秩表示 $T \approx \sum_{r=1}^R \alpha_r x_r \circ y_r \circ z_r$。
3. 秩确定的稀疏优化：该方法的一个关键组成部分是使用近端梯度稀疏法（PGS）来确定最优张量秩 $R$。这被表述为一个稀疏优化问题，旨在最小化重构误差加上系数 $\alpha$ 上的 $\ell_1$ 范数正则化项。为了解决这一问题，作者利用了一种灵活的混合方法，将近端梯度法与 Golub-Kahan 双对角化相结合，用一系列 $\ell_2$ 惩罚项替代 $\ell_1$ 惩罚项，以在实际操作中处理参数调整。
4. 降阶模型（ROM）构建：一旦确定了秩 $R$，因子矩阵（$X, Y, Z$）便使用交替最小二乘法（ALS）算法进行细化。通过将全阶系统投影到由因子矩阵乘积的左奇异向量所张成的子空间上，推导出降阶状态动力学。由此得到降阶矩阵 $A_{red}$ 和 $B_{red}$。
5. 控制综合：使用 SDRE 框架求解降阶最优控制问题。由于降阶系统的维度显著小于全阶系统，SDRE 可以在每个时间步高效求解。

主要贡献
本文概述了三项主要贡献：

• 近端梯度在控制数据中的应用：作者将近端梯度法应用于非线性控制数据集，以确定精确的张量秩，并利用灵活的混合方法进行正则化。
• 秩决定的降维：确定的张量秩 $R$ 直接决定了状态系统的降阶维度，确保降维是基于数据驱动的而非启发式的。
• 稳定控制反馈：该方法生成算法，寻找降阶基元以构建能够稳定状态动力学的控制反馈。

数值结果
作者在具有全阶维度 $d=101$ 的 Allen-Cahn 方程上测试了该方法。

• 秩确定：PGS 算法确定的张量秩为 $R=2$，显著小于状态维度。
• 稳定速度：在数值实验中，源自 PGS 降阶模型的控制反馈比源自全阶模型或仅使用 ALS 的模型收敛到零的速度更快。具体而言，PGS 控制的状态在 $t=0.1531$ 时收敛，而其他动力学尚未收敛。
• 计算效率：使用 PGS 的降阶模型的相对 CPU 时间约为全阶模型成本（$J_{full}$）的 $1.965 \times 10^{-29}$。虽然确定秩存在离线成本，但降阶 SDRE 的在线计算复杂度从 $O(N_t N_x^3)$ 降至 $O(n_t R^3)$，其中 $n_t$ 是降阶系统稳定所需的时间步数。

意义与主张
本文主张，所提出的方法为大规模最优控制问题提供了显著优势：

• 快速稳定：近似控制反馈表现出对控制系统的快速稳定。
• 计算节省：在线计算复杂度显著低于标准状态依赖黎卡提方程。
• 成本效益：与降阶模型控制反馈相关的目标成本函数仅是全阶模型成本的一小部分。
• 易于实施：张量数据结构易于从解剖面的前向切片构建，使得该方法在实际实施中具有可行性。

作者得出结论，通过结合 CP 分解、近端梯度稀疏性和 Golub-Kahan 双对角化，他们能够有效估计决定状态维度降低的低秩，从而实现快速控制反馈稳定和巨大的计算节省。