Proximal Gradient-based Low Rank Tensor Decomposition for State Dependent Riccati Equation

Resumen Técnico: Descomposición de Tensores de Bajo Rango Basada en Gradiente Proximal para la Ecuación de Riccati Dependiente del Estado

Planteamiento del Problema
El artículo aborda problemas de control óptico que surgen de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) y que resultan en sistemas de control discretos de dimensión a gran escala. El enfoque estándar para encontrar estrategias de retroalimentación de control no lineal implica resolver las ecuaciones de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB), lo cual es computacionalmente prohibitivo para sistemas de alta dimensión. Aunque la Ecuación de Riccati Dependiente del Estado (SDRE) ofrece una formulación alternativa para construir retroalimentación de control no lineal, resolver la SDRE para modelos de orden completo sigue siendo costoso, con una complejidad computacional de $O(N_t N_x^3)$, donde $N_t$ es el número de pasos de tiempo y $N_x$ es la dimensión del estado. Los autores proponen un método para reducir el orden de estos sistemas de control, permitiendo una solución eficiente de la SDRE mientras se mantiene la estabilidad.

Metodología
El enfoque propuesto utiliza computación tensorial para derivar modelos de orden reducido (MOR) a partir de datos de instantáneas de los perfiles de solución del sistema. La metodología procede a través de las siguientes etapas:

1. Construcción de Datos Tensoriales: Los autores construyen un conjunto de datos tensoriales de tercer orden a partir de los perfiles de solución de la dinámica del estado sin control (específicamente la ecuación de Allen-Cahn) bajo diversos parámetros de control. Las dimensiones del tensor corresponden a la discretización espacial, la discretización temporal y los valores de los parámetros de control.
2. Descomposición de Tensores de Bajo Rango: Para reducir la dimensionalidad, los autores emplean la descomposición Canónica Polidádica (CP) para aproximar los datos tensoriales. El objetivo es encontrar una representación de bajo rango $T \approx \sum_{r=1}^R \alpha_r x_r \circ y_r \circ z_r$.
3. Optimización Escasa para la Determinación del Rango: Un componente clave del método es el uso de un método de Gradiente Proximal para Escasez (PGS) para determinar el rango tensorial óptimo $R$. Esto se formula como un problema de optimización escasa que minimiza el error de reconstrucción más un término de regularización de norma $\ell_1$ sobre los coeficientes $\alpha$. Para resolver esto, los autores utilizan un método híbrido flexible que combina el enfoque de Gradiente Proximal con la bidiagonalización de Golub-Kahan, reemplazando la penalización $\ell_1$ con una secuencia de penalizaciones $\ell_2$ para manejar el ajuste de parámetros de manera práctica.
4. Construcción del Modelo de Orden Reducido (MOR): Una vez identificado el rango $R$, las matrices factor ($X, Y, Z$) se refinan utilizando un algoritmo de Mínimos Cuadrados Alternos (ALS). Las dinámicas de estado reducidas se derivan proyectando el sistema de orden completo sobre el subespacio generado por los vectores singulares izquierdos del producto de las matrices factor. Esto produce las matrices reducidas $A_{red}$ y $B_{red}$.
5. Síntesis de Control: El problema de control óptimo de orden reducido se resuelve utilizando el marco de la SDRE. Debido a que la dimensión del sistema reducido es significativamente menor que la del sistema completo, la SDRE puede resolverse eficientemente en cada paso de tiempo.

Contribuciones Clave
El artículo describe tres contribuciones principales:

• Aplicación del Gradiente Proximal a Datos de Control: Los autores aplican el método de gradiente proximal a conjuntos de datos de control no lineal para determinar un rango tensorial preciso, utilizando métodos híbridos flexibles para la regularización.
• Reducción de Dimensionalidad Dictada por el Rango: El rango tensorial determinado $R$ dicta directamente la dimensión de orden reducido del sistema de estado, asegurando que la reducción sea impulsada por datos y no heurística.
• Retroalimentación de Control Estabilizadora: El método genera algoritmos que encuentran elementos de base reducida para construir retroalimentación de control capaz de estabilizar las dinámicas del estado.

Resultados Numéricos
Los autores probaron el método en la ecuación de Allen-Cahn con una dimensión de orden completo de $d=101$.

• Determinación del Rango: El algoritmo PGS identificó un rango tensorial de $R=2$, significativamente menor que la dimensión del estado.
• Velocidad de Estabilización: En experimentos numéricos, la retroalimentación de control derivada del modelo reducido por PGS convergió a cero más rápido que la de los modelos completos o los modelos que utilizan solo ALS. Específicamente, el estado controlado por PGS convergió en $t=0.1531$, mientras que otras dinámicas aún no habían convergido.
• Eficiencia Computacional: El tiempo de CPU relativo para el modelo reducido utilizando PGS fue aproximadamente $1.965 \times 10^{-29}$ del costo del modelo completo ($J_{full}$). Aunque existe un costo fuera de línea para determinar el rango, la complejidad computacional en línea para la SDRE reducida disminuye de $O(N_t N_x^3)$ a $O(n_t R^3)$, donde $n_t$ son los pasos de tiempo requeridos para que el sistema reducido se estabilice.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma que su método propuesto ofrece ventajas significativas para problemas de control óptimo a gran escala:

• Estabilización Rápida: La retroalimentación de control aproximada exhibe una estabilización rápida del sistema de control.
• Ahorros Computacionales: La complejidad computacional en línea es sustancialmente menor que la de la ecuación de Riccati dependiente del estado estándar.
• Eficiencia de Costos: La función de costo objetivo asociada con la retroalimentación de control de los modelos reducidos es una pequeña fracción del costo del modelo completo.
• Facilidad de Implementación: Las estructuras de datos tensoriales se construyen fácilmente a partir de rebanadas frontales de los perfiles de solución, lo que hace que el enfoque sea práctico para su implementación.

Los autores concluyen que al combinar la descomposición CP con la escasez de gradiente proximal y la bidiagonalización de Golub-Kahan, pueden estimar eficazmente rangos bajos que dictan la reducción de la dimensión del estado, lo que conduce a una estabilización rápida de la retroalimentación de control y a enormes ahorros computacionales.