Proximal Gradient-based Low Rank Tensor Decomposition for State Dependent Riccati Equation

技術的概要：状態依存リカッチ方程式のための近接勾配法に基づく低ランクテンソル分解

問題定義
本論文は、偏微分方程式（PDE）に起因する最適制御問題を扱っており、これらは大規模な離散次元制御系をもたらす。非線形制御フィードバック戦略を導出する標準的なアプローチは、ハミルトン・ヤコビ・ベルマン（HJB）方程式を解くことを含むが、高次元系においては計算量が膨大となり実行不可能である。一方、状態依存リカッチ方程式（SDRE）は非線形制御フィードバックの構築のための代替定式化を提供するが、フルオーダーモデルに対する SDRE の解法は依然として高コストであり、計算複雑性は $O(N_t N_x^3)$ である。ここで、$N_t$ は時間ステップ数、$N_x$ は状態次元である。著者らは、安定性を維持しつつ SDRE の効率的な解法を可能にするために、これらの制御系の次数を低減する手法を提案する。

手法
提案されるアプローチは、システムの解プロファイルのスナップショットデータから低次モデル（ROM）を導出するためにテンソル計算を利用する。手法は以下の段階を経て進行する：

1. テンソルデータの構築：著者らは、様々な制御パラメータ下での制御されていない状態ダイナミクス（具体的にはアレン・カahn方程式）の解プロファイルから、3 次テンソルデータセットを構築する。テンソルの次元は、空間離散化、時間離散化、および制御パラメータ値に対応する。
2. 低ランクテンソル分解：次元削減のため、著者らはテンソルデータを近似するために標準多項式（CP）分解を採用する。目標は、低ランク表現 $T \approx \sum_{r=1}^R \alpha_r x_r \circ y_r \circ z_r$ を見出すことである。
3. ランク決定のためのスパース最適化：手法の主要な構成要素は、最適テンソルランク $R$ を決定するためにスパース性のための近接勾配法（PGS）を使用することである。これは、再構成誤差を最小化し、係数 $\alpha$ に対して $\ell_1$ ノルム正則化項を加えたスパース最適化問題として定式化される。これを解くために、著者らは近接勾配法と Golub-Kahan 双対角化を組み合わせた柔軟なハイブリッド法を利用し、パラメータ調整を実用的に行うために $\ell_1$ ペナルティを $\ell_2$ ペナルティの列に置き換える。
4. 低次モデル（ROM）の構築：ランク $R$ が特定されると、因子行列（$X, Y, Z$）が交互最小二乗法（ALS）アルゴリズムを用いて洗練される。低次状態ダイナミクスは、因子行列の積の左特異ベクトルが張る部分空間 onto へフルオーダー系を射影することで導出される。これにより、低次元行列 $A_{red}$ および $B_{red}$ が得られる。
5. 制御合成：低次最適制御問題は SDRE 枠組みを用いて解かれる。低次系の次元がフル系よりも著しく小さいため、SDRE は各時間ステップで効率的に解くことができる。

主要な貢献
本論文は、3 つの主要な貢献を概説する：

• 制御データへの近接勾配法の適用：著者らは、柔軟なハイブリッド法による正則化を利用して、鋭いテンソルランクを決定するために、非線形制御データセットに近接勾配法を適用する。
• ランクに規定される次元削減：決定されたテンソルランク $R$ が、状態系の低次次元を直接規定し、削減がヒューリスティックではなくデータ駆動型であることを保証する。
• 安定化制御フィードバック：この手法は、状態ダイナミクスを安定化可能な制御フィードバックを構築するための低次基底要素を見つけるアルゴリズムを生成する。

数値結果
著者らは、フルオーダー次元 $d=101$ のアレン・カahn方程式に対して本手法をテストした。

• ランク決定：PGS アルゴリズムは、状態次元よりも著しく小さいテンソルランク $R=2$ を特定した。
• 安定化速度：数値実験において、PGS 低次モデルから導出された制御フィードバックは、フルモデルまたは ALS のみを使用するモデルから導出されたものよりも速くゼロに収束した。具体的には、PGS 制御状態は $t=0.1531$ で収束したのに対し、他のダイナミクスは未だ収束していなかった。
• 計算効率：PGS を使用した低次モデルの相対 CPU 時間は、フルモデルのコスト（$J_{full}$）の約 $1.965 \times 10^{-29}$ であった。ランク決定にはオフラインコストがかかるが、低次 SDRE のオンライン計算複雑性は、$O(N_t N_x^3)$ から $O(n_t R^3)$ に低下する。ここで、$n_t$ は低次系が安定化するまでの時間ステップ数である。

意義と主張
本論文は、提案された手法が大規模最適制御問題に対して以下の顕著な利点を提供すると主張する：

• 高速安定化：近似された制御フィードバックは、制御系の急速な安定化を示す。
• 計算コストの削減：オンライン計算複雑性は、標準的な状態依存リカッチ方程式に比べて著しく低い。
• コスト効率：低次モデルからの制御フィードバックに関連する目的コスト関数は、フルモデルのコストのわずかな部分に過ぎない。
• 実装の容易さ：テンソルデータ構造は、解プロファイルの前面スライスから容易に構築可能であり、このアプローチの実装を現実的なものにする。

著者らは、CP 分解と近接勾配スパース性および Golub-Kahan 双対角化を組み合わせることで、状態次元削減を規定する低ランクを効果的に推定でき、これにより高速な制御フィードバック安定化と莫大な計算コストの削減が可能になると結論付けている。